Question

【題目】如圖所示，在傾斜角為30°的光滑斜面上靜止放置、兩個(gè)小球，它們的質(zhì)量分別為和，它們的半徑分別為和，它們之間用長(zhǎng)為的輕繩相連（圖中未畫(huà)出），開(kāi)始時(shí)、緊靠在一起并鎖定于斜面上的處，在斜面上的處固定一個(gè)開(kāi)有小孔的擋板，小孔半徑為，間距離為，現(xiàn)解除對(duì)小球的鎖定，讓、一起從靜止開(kāi)始沿斜面下滑，球無(wú)阻礙地通過(guò)小孔，而球與擋板發(fā)生無(wú)機(jī)械能損失的碰撞，球碰撞后沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，球仍沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，輕繩繃緊瞬間（時(shí)間極短）兩球達(dá)到共同速度，已知兩球半徑遠(yuǎn)小于輕繩長(zhǎng)度，在計(jì)算時(shí)將、兩球看做質(zhì)點(diǎn)，斜面足夠長(zhǎng)，兩小球始終在斜面上運(yùn)動(dòng)，取，求：

（1）小球、從點(diǎn)由靜止開(kāi)始一起沿斜面下滑到達(dá)擋板時(shí)的速度的大�。�

（2）若，連接、兩球的輕繩繃緊瞬間，、兩球共同速度的大小和方向；

（3）若，試討論兩球共同速度的方向與值的關(guān)系。

Answer 1

【答案】（1）5m/s；（2），方向沿斜面向下；（3）見(jiàn)解析

【解析】

(1)一起下滑時(shí)根據(jù)動(dòng)能定理有

代入數(shù)據(jù)得；

(2)與擋板發(fā)生碰撞反彈到繩剛好繃緊，根據(jù)受力分析可知兩球的加速度為，則有

這段過(guò)程中球的位移

球的位移

又因?yàn)?/span>

代入數(shù)據(jù)解得；繩繃緊前瞬間有

繩繃緊過(guò)程動(dòng)量守恒，取斜面向下為正，有

當(dāng)時(shí)解得；故繩繃緊瞬間，、兩球的共同速度的大小為，方向沿斜面向下；

(3)若

由(2)問(wèn)可得

令，可得，則討論當(dāng)時(shí)，，方向沿斜面向下；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，方向沿斜面向上。