Question

（2011?撫州模擬）如圖甲所示，半徑為r的金屬圓環(huán)水平放置，三條電阻均為R的導(dǎo)體棒Oa、Ob、和Oc互成120⁰角連接在圓心O和圓環(huán)上，圓環(huán)繞經(jīng)過(guò)圓心O的豎直金屬轉(zhuǎn)軸以大小為ω的角速度按圖中箭頭方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．一方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)與圓環(huán)所在平面相交，相交區(qū)域?yàn)槿鐖D虛線的菱形（頂角為60⁰的那個(gè)頂點(diǎn)位于O處、其它三個(gè)頂點(diǎn)在圓環(huán)外）．C為水平放置的平行板電容器，通過(guò)固定的電刷P和Q連接在圓環(huán)和金屬轉(zhuǎn)軸上，電容器極板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩極板的間距為d．現(xiàn)使一細(xì)電子束沿兩板間的中線以大小為v_O（v_O=

ωL

π

）的初速度連續(xù)不斷地射入電容器C．
（1）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，以導(dǎo)體棒Ob開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)谝覉D坐標(biāo)中畫出電刷P和Q間電壓U與時(shí)間t的關(guān)系圖象（至少畫出圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的圖象）
（2）已知電子電荷量為e，質(zhì)量為m．忽略圓環(huán)的電阻、電容器的充放電時(shí)間及電子所受重力和阻力．欲使射入的電子全部都能通過(guò)電容器C，則勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)三根金屬棒中有一根切割磁感產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，相當(dāng)于電源，另外兩根棒并聯(lián)相當(dāng)外電路，根據(jù)E=

1

2

Br2ω求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律即可得到電刷P和Q間電壓U的表達(dá)式．從導(dǎo)體棒Ob開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，在一個(gè)周期內(nèi)，電刷P和Q間有電壓和無(wú)電壓間隔出現(xiàn)，可作出U-t圖象．
（2）電子進(jìn)入電容器C后，某一導(dǎo)體棒也開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)，電子電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向不受電場(chǎng)力而做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向受到電場(chǎng)力而做勻加速運(yùn)動(dòng)；在沒(méi)有電場(chǎng)的時(shí)間內(nèi)豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電子在豎直方向的最大位移y，要使射入的電子全部都能通過(guò)電容器C，必須滿足的條件是y≤

d

2

，聯(lián)立可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為
  E=

1

2

Br2ω
通過(guò)此棒的電流為  I=

E

R+ 1 2 R

=

2

3

E
棒兩端的電壓為 U=I?

R

2

聯(lián)立以上三式得  U=

1

6

Bωr²
圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為 T=

2π

ω

則電刷P和Q間電壓U與時(shí)間t的關(guān)系圖象如圖所示．
（2）電子在平行板電容器中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
     t=

L

v0

=

π

ω

=

T

2

所以，當(dāng)電子開(kāi)始進(jìn)入平行板電容器中時(shí)，某一導(dǎo)體棒也開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)，這個(gè)電子在平行板電容器中運(yùn)動(dòng)的第一個(gè)和第三個(gè)

t

3

時(shí)間內(nèi)豎直方向受到電場(chǎng)力而做勻加速運(yùn)動(dòng)；第二個(gè)

t

3

時(shí)間內(nèi)豎直方向不受電場(chǎng)力而做勻速運(yùn)動(dòng)，這個(gè)電子在豎直方向上的位移最大．用y表示豎直位移
第一個(gè)

t

3

時(shí)間內(nèi)    y1=

1

2

?

eU

md

(

t

3

)2=

π2eBr2

108mdω

第二個(gè)

t

3

時(shí)間內(nèi)    y₂=2y₁
第三個(gè)

t

3

時(shí)間內(nèi) y₃=3y₁
豎直方向上的最大位移  y=y₁+y₂+y₃=

π2eBr2

18mdω

要使射入的電子全部都能通過(guò)電容器C，必須滿足y≤

d

2

解得       B≤

9md2ω

eπ2r2

答：
（1）電刷P和Q間電壓U與時(shí)間t的關(guān)系圖象如圖所示．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足的條件是：B≤

9md2ω

eπ2r2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與電路、電場(chǎng)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電子在豎直方向的最大位移y，可以運(yùn)用v_y-t圖象分析電子在豎直方向的運(yùn)動(dòng)情況，便于理解．