Question

如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動．彈射裝置將一個小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)水平彈射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出（拋出后小球不會再碰軌道），已知小球與地面ab段間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，不計其他機(jī)械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質(zhì)量m=0.01kg，軌道質(zhì)量為M=0.26kg，取g=10
m/s²，求：
（1）若v₀=5m/s，小球從最高點(diǎn)d拋出后的水平射程．
（2）若v₀=5m/s，小球經(jīng)過軌道的最高點(diǎn)d時，管道對小球作用力的大小和方向．
（3）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)v₀至少為多少時，小球經(jīng)過兩半圓的對接處c點(diǎn)時，軌道對地面的壓力為零．

Answer 1

（1）對a到d全過程運(yùn)用動能定理：-μmgL-4mgR=

1

2

mvd2-

1

2

mv02．
v_d=2

3

m/s．
   小球離開d點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，4R=

1

2

gt2．t=

8R g

=

2

5

s
    水平射程x=vdt=

2 6

5

m．
（2）在d點(diǎn)有：mg+F=m

vd2

R

      F=1.1N．管道對小球的作用力方向向下．
（3）當(dāng)小球在c點(diǎn)對軌道向上的作用力等于軌道自身的重力時，軌道對地面的壓力為0．
有N+mg=m

vc2

R

   N=Mg
vc=3

3

m/s
根據(jù)動能定理得：
-μmgL-2mgR=

1

2

mvc2-

1

2

mv02
v₀=6m/s．
故v₀至少為6m/s時，小球經(jīng)過兩半圓的對接處c點(diǎn)時，軌道對地面的壓力為零．