Question

19．宇航員在一行星上以速度v₀豎直上拋一的物體，不計空氣阻力，經(jīng)t秒后落回手中，已知該星球半徑為R．求：
（1）該行星的密度．
（2）求該行星的第一宇宙速度．
（3）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運行加速度及周期T．

Answer 1

分析 物體做豎直上拋運動，由運動學公式t=$\frac{{2v}_{0}}{g}$求出行星表面的重力加速度g．要使物體沿水平方向拋出而不落回星球表面，需要達到第一宇宙速度，恰好由重力提供向心力，可以求得第一宇宙速度．

解答 解：（1）設行星表面的重力加速度為g，由物體豎直上拋運動，有：
t=$\frac{{2v}_{0}}{g}$
g=$\frac{{2v}_{0}}{t}$
根據(jù)萬有引力等于重力，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
該行星的密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{{3v}_{0}}{2πRGt}$，
（2）該行星的第一宇宙速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{2{Rv}_{0}}{t}}$，
（3）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，根據(jù)萬有引力等于向心力，有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
r=R+h
a=$\frac{GM}{{（R+h）}^{2}}$=$\frac{{{2v}_{0}R}^{2}}{{t（R+h）}^{2}}$，
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{{t（R+h）}^{3}}{{{2v}_{0}R}^{2}}}$，
答：（1）該行星的密度是$\frac{{3v}_{0}}{2πRGt}$．
（2）該行星的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{2{Rv}_{0}}{t}}$．
（3）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，衛(wèi)星的運行加速度是$\frac{{{2v}_{0}R}^{2}}{{t（R+h）}^{2}}$，周期是2π$\sqrt{\frac{{t（R+h）}^{3}}{{{2v}_{0}R}^{2}}}$．

點評 本題是常見的豎直上拋運動和萬有引力的綜合應用問題，它們之間聯(lián)系的橋梁是重力加速度是g．