Question

我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行.為了獲得月球表面全貌的信息,讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化.衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球.設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m,地球和月球的半徑分別為R和R₁,月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁,月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為T.假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行一個周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面.求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時間(有M?m?R?R₁?r?r₁和T表示,忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時間的影響).

Answer 1

如圖,O和O′分別表示地球和月球的中心.在衛(wèi)星軌道平面上,A是地月連心線OO′與地月球面的公切線ACD的交點(diǎn),D?C和B分別是該公切線與地球表面?月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點(diǎn).根據(jù)對稱性,過A點(diǎn)的另一側(cè)作地月球面的公切線,交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn).衛(wèi)星在上運(yùn)動時發(fā)出的信號被遮擋.

設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀,萬有引力常量為G,根據(jù)萬有引力定律有
 
式中,T₁是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動的周期.由①②式得

設(shè)衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為t,則由于衛(wèi)星繞月做勻速圓周運(yùn)動,應(yīng)用
式中,α=∠CO′A,β=∠CO′B.由幾何關(guān)系得
rcosα=R-R₁⑤
r₁cosβ=R₁⑥
由③④⑤⑥式得