Question

(2010·全國Ⅰ卷)如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)．引力常數(shù)為G.

(1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；

(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T₁.但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T₂.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×10²⁴kg和7.35×10²²kg.求T₂與T₁兩者平方之比．(結(jié)果保留3位小數(shù))

Answer 1

解析：　(1)設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，相互作用的引力大小為F，運(yùn)行周期為T.根據(jù)萬有引力定律有

F＝G①

由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得

F＝m²r②

F＝M²R③

由題意得L＝R＋r④

聯(lián)立①②③④式得T＝2π.⑤

(2)在地月系統(tǒng)中，由于地月系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中心O不在地心，月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期可由⑤式得出

T₁＝2π⑥

式中，M′和m′分別是地球與月球的質(zhì)量，L′是地心與月心之間的距離．若認(rèn)為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則

G＝m′²L′⑦

式中，T₂為月球繞地心運(yùn)動(dòng)的周期．由⑦式得

T₂＝2π⑧

由⑥⑧式得²＝1＋

代入題給數(shù)據(jù)得＝²＝1.012.

答案：　(1)T＝2π　(2)＝1.012