Question

如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)兩正對(duì)著的半徑為R的相同半圓滑軌道，相隔一定的距離x，虛線沿豎直方向，一質(zhì)量為m的小球能在其間運(yùn)動(dòng)．今在最低點(diǎn)B與最高點(diǎn)A各放一個(gè)壓力傳感器，測(cè)試小球?qū)�軌道的壓力，并通過計(jì)算機(jī)顯示出來(lái)．當(dāng)軌道距離x不同時(shí)，測(cè)得兩點(diǎn)壓力差△F_N與距離x的圖象如右圖所示．（不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²
（1）當(dāng)x=R時(shí)，為使小球不脫離軌道運(yùn)動(dòng)，求小球在B點(diǎn)的最小速度（用物理量的符號(hào)表示）
（2）試寫出A、B兩點(diǎn)的壓力差△F_N與 x的函數(shù)關(guān)系．（用m、R、g表示）
（3）根據(jù)圖象，求小球的質(zhì)量和軌道半徑．

Answer 1

分析：（1）小球在軌道內(nèi)只有重力做功，機(jī)械能守恒；最高點(diǎn)時(shí)的臨界條件為重力充當(dāng)向心力，則由機(jī)械能守恒可得出B點(diǎn)的最小速度；
（2）由向心力公式可得出AB兩點(diǎn)時(shí)的壓力，則可求得壓力之差的表達(dá)式；
（3）由得出的壓力之差的表達(dá)式，結(jié)合圖象可以得出物體質(zhì)量及軌道半徑．

解答：解：
（1）小球恰能在A點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)：
mg=m

v 2 A

R

                               
此時(shí)，小球在B點(diǎn)動(dòng)能最小，由機(jī)械能守恒：

1

2

mv_B²=mg3R+

1

2

mv_A²                      
解得：v_B=

7gR

（2）在B點(diǎn)：F_NB-mg=m

v 2 B

R

                    
在A點(diǎn)：F_NA+mg=m

v 2 A

R

                       
小球從A到B機(jī)械能守恒：

1

2

mv_B²=mg（2R+x）+

1

2

mv_A²                    
兩點(diǎn)的壓力差：△F_N=F_NB-F_NA=6mg+

2mgx

R

（3）由圖象知：
截距：6mg=2.4
m=0.04kg
斜率：k=

2mg

R

=2
R=0.4m
答：（1）B點(diǎn)的最小速度為

7gR

； （2）兩點(diǎn)壓力差的絕對(duì)值為6mg+

2mgx

R

；（3）小球的質(zhì)量為0.04kg；半徑為0.4m．

點(diǎn)評(píng)：機(jī)械能守恒與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合為常見題型，在解題時(shí)要注意臨界條件的確定，并能正確選擇機(jī)械能守恒列式求解．