Question

如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)兩正對(duì)著的半徑為R的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離x，虛線沿豎直方向，一質(zhì)量為m的小球能在其間運(yùn)動(dòng)．今在最低點(diǎn)B與最高點(diǎn)A各放一個(gè)壓力傳感器，測(cè)試小球?qū)�軌道的壓力，并通過(guò)計(jì)算機(jī)顯示出來(lái)．（不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²）
（1）要使小球不脫離軌道，求小球在A點(diǎn)速度；
（2）求A、B兩點(diǎn)的壓力差△F_N與x的函數(shù)關(guān)系；（用m、R、g表示）
（3）若測(cè)得兩點(diǎn)壓力差△F_N與距離x的圖象如右圖所示．根據(jù)圖象，求小球的質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）要使小球不脫離軌道，小球到達(dá)軌道最高點(diǎn)A時(shí)的速度必須大于等于臨界速度，在最高點(diǎn)時(shí)，當(dāng)重力恰好等于向心力時(shí)，小球的速度等于臨界速度，是小球到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度，由牛頓第二定律列式求解．
（2）在A、B兩點(diǎn)，由軌道的彈力與重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式得到軌道的彈力與速度關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能守恒列式，得到兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系，即可得到壓力差△F_N與x的函數(shù)關(guān)系；
（3）由壓力差與距離x的關(guān)系式，結(jié)合圖象的截距求得物體的質(zhì)量．

解答：解：（1）小球恰能在A點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)：mg=m

v 2 A

R

解得，v_A=

gR

               ①
要使小球不脫離軌道，小球在A點(diǎn)速度必須滿(mǎn)足v_A≥

gR

．
（2）在B點(diǎn)：F_NB-mg=m

v 2 B

R

                 ②
在A點(diǎn)：F_NA+mg=m

v 2 A

R

                   ③
小球從A到B機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

2 B

=mg（2R+x）+

1

2

m

v

2 A

           ④
兩點(diǎn)的壓力差：△F_N=F_NB-F_NA=6mg+

2mgx

R

    ⑤
（3）由圖象知：截距：6mg=2.4
解得，m=0.04kg         ⑥
答：
（1）要使小球不脫離軌道，小球在A點(diǎn)速度應(yīng)大于等于

gR

；
（2）A、B兩點(diǎn)的壓力差△F_N與x的函數(shù)關(guān)系與6mg+

2mgx

R

；
（3）根據(jù)圖象得到小球的質(zhì)量是0.04kg．

點(diǎn)評(píng)：本題考查機(jī)械能守恒的應(yīng)用及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界值的應(yīng)用，此類(lèi)題型為常見(jiàn)題型，應(yīng)熟練掌握．