Question

【題目】保溫瓶的瓶膽為具有雙層薄壁的玻璃容器，其主要的散熱途徑有瓶膽夾層的熱傳導(dǎo)、熱輻射和瓶口處的少量氣體的逸出．考慮到制作瓶膽時的經(jīng)濟(jì)效益，瓶膽夾層中有少量空氣殘留，殘留的氣體壓強(qiáng)為，但這少量的空氣殘留仍然是散熱中不可忽略的因素，因?yàn)榭諝夥肿拥臒徇\(yùn)動使得空氣分子在瓶膽內(nèi)、外壁間來回碰撞，并且因此導(dǎo)致熱交換．可以近似認(rèn)為外壁溫度與室溫℃相同，內(nèi)壁溫度與水溫相同．氣體分子的平均速率，作為近似，氣體的溫度取平均溫度．由麥克斯韋分布律可導(dǎo)出，若容器壁上開一小孔，則單位時間單位面積逸出的分子個數(shù)為，式中為氣體分子的數(shù)密度．又知瓶膽內(nèi)外壁的面積近似相等，均為，內(nèi)外壁的發(fā)射率均為，瓶膽容積．空氣摩爾質(zhì)量，水的比熱容．假設(shè)瓶塞處的氣體泄漏所攜帶的熱量只與瓶口處的密封性以及水溫有關(guān)．現(xiàn)在在保溫瓶中灌滿100℃的開水，后測得水溫℃，由此估計(jì)一天以后水溫可能下降到不足60℃，因此保溫瓶的效果并不理想，于是，有人提出了一些改進(jìn)方案，其改進(jìn)方案主要包括以下三點(diǎn)：

(1)提高瓶口處的密封性，使瓶口處的散熱速率降低60％．

(2)提升制造工藝，將瓶膽夾層中的空氣進(jìn)一步抽空，使氣壓降至

(3)在保持容積不變的前提下，改變瓶膽形狀，盡可能地減小瓶膽的表面積，以最大限度地減少散熱（這些改變不會改變前面描述的瓶膽夾層的那些性質(zhì)）

如果現(xiàn)在真的能實(shí)現(xiàn)這一改進(jìn)方案，我們?nèi)栽诟倪M(jìn)后制作的保溫瓶中灌滿100℃的開水，問：后水溫為多少？（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

【答案】℃

【解析】

由于夾層中的氣體很稀薄，可以認(rèn)為分子間的碰撞很少，分子幾乎無阻礙地在內(nèi)外壁間來回運(yùn)動，可以認(rèn)為分子與瓶膽壁接觸后便具有與壁相同的溫度．因此分子每次與器壁碰撞所交換的熱量．

由題意可知單位時間內(nèi)與器壁碰撞的分子總數(shù)

所以由于瓶膽夾層的熱傳導(dǎo)導(dǎo)致的熱損耗功率

由于瓶膽內(nèi)外壁間熱輻射導(dǎo)致的熱損耗功率

而散熱的總功率

因此瓶口處散熱功率

考慮新保溫瓶的瓶膽內(nèi)外壁的面積的極限情況，即瓶膽為球狀，則其表面積為

所以，

因此后的水溫滿足

所以，℃