Question

6．將一測(cè)力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力．圖甲中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將質(zhì)量m=0.05kg的小擺球（可視為質(zhì)點(diǎn)）拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，則擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，其中B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置．∠AOB=∠COB=θ（θ小于10°且是未知量）．由計(jì)算機(jī)得到的細(xì)線對(duì)擺球的拉力大小F隨時(shí)間t變化的曲線如圖乙所示，且圖中t=0時(shí)刻為擺球從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻．試根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中所給的信息，（g取10m/s²，$\sqrt{8}$=0.89），求：
（1）單擺的振動(dòng)周期和擺長(zhǎng)．
（2）擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的速度．
（3）圖乙中細(xì)線拉力最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力最大，在一個(gè)周期內(nèi)兩次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)，根據(jù)該規(guī)律，求出單擺的周期．再根據(jù)單擺的周期公式求出擺長(zhǎng)．
（2）根據(jù)最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力最大，結(jié)合牛頓第二定律求出擺球的最大速度．
（3）小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力最小，在最低點(diǎn)時(shí)繩子拉力最大，求出最高點(diǎn)和最低點(diǎn)繩子拉力的表達(dá)式．

解答 解：（1）由F-t圖可得：T=0.4πs，
由T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$得：L=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$=0.4m；
（2）由F-t圖可得，擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)細(xì)線的拉力F_max=0.510N，
由牛頓第二定律得：F_max-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，代入數(shù)據(jù)解得：v=0.089m/s；
（3）A→B機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²-0，
拉力最小值：F_min=mgcosθ，
解得：F_min=0.495N；
答：（1）單擺的振動(dòng)周期為0.4πs，擺長(zhǎng)為0.4m．
（2）擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的速度為0.089m/s．
（3）圖乙中細(xì)線拉力最小值為為0.495N．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道單擺的周期公式，以及會(huì)靈活運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓定律解題．