Question

15．宇航員在月球上自高h(yuǎn)處以初速度v₀水平拋出一小球，測(cè)出水平射程為L(zhǎng)（這時(shí)月球表面可以看作是平坦的），則
（1）月球表面處的重力加速度是多大？
（2）若已知月球半徑為R，要在月球上發(fā)射一顆月球衛(wèi)星，發(fā)射速度至少為多大？
（3）它在月球表面附近環(huán)繞月球運(yùn)行的周期是多少？

Answer 1

分析 （1）平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出月球表面的重力加速度．
（2）以最小速度發(fā)射的衛(wèi)星將貼著月球的表面運(yùn)行，軌道半徑等于月球的半徑．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出最小的發(fā)射速度．
（3）由萬(wàn)有引力提供向心力即可求出衛(wèi)星的周期．

解答 解：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：L=v₀t
解得：$g=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$
（2）著陸器繞月球表面運(yùn)行萬(wàn)有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
而月球表面上的物體有$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
解得：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}R}{{L}^{2}}}=\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
聯(lián)立得：T=$\frac{2πL}{{v}_{0}}•\sqrt{\frac{R}{2h}}$
答：（1）月球表面處的重力加速度為$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$．
（2）如果要在月球上發(fā)射一顆月球衛(wèi)星，發(fā)射速度至少為$\frac{{v}_{0}}{L\;}\sqrt{2hR}$．
（3）它在月球表面附近環(huán)繞月球運(yùn)行的周期是$\frac{2πL}{{v}_{0}}•\sqrt{\frac{R}{2h}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，以及萬(wàn)有引力提供做衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．