Question

如圖甲所示，在一水平放置的隔板MN的上方，存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向如圖所示．O為隔板上的一個(gè)小孔，通過O點(diǎn)可以從不同方向向磁場區(qū)域發(fā)射電量為+q，質(zhì)量為m，速率為v的粒子，且所有入射的粒子都在垂直于磁場的同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．不計(jì)重力及粒子間的相互作用．
（1）如圖乙所示，與隔板成45°角的粒子，經(jīng)過多少時(shí)間后再 次打到隔板上？此粒子打到隔板的位置與小孔的距離為多少？
（2）所有從O點(diǎn)射入的帶電粒子在磁場中可能經(jīng)過區(qū)域的面積為多少？
（3）若有兩個(gè)時(shí)間間隔為t₀的粒子先后射入磁場后恰好在磁場中給定的P點(diǎn)相遇，如圖丙所示，則P與O之間的距離為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場中只受洛倫茲力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出半徑和周期，畫出軌跡，求出時(shí)間和距離．
（2）當(dāng)粒子的速度平行于MN向右射入磁場時(shí)，作出軌跡右邊界，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)畫出軌跡可能經(jīng)過的區(qū)域，求出面積．
（3）作出以O(shè)P為弦的兩個(gè)半徑相同的圓分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個(gè)粒子的軌道，求出圓心角，解出P與O之間的距離．

解答：解：（1）、與隔板成45°角的粒子進(jìn)入磁場后的軌跡如圖1所示，設(shè)粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑為R，
           則有：qvB=m

v2

R

…①
         粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πR

v

…②
        由于粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡所對應(yīng)的圓心角為270°，
        則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=

3

4

T…③
            由①②③得      t=

3πm

2qB

…④
        到達(dá)隔板的位置與小孔0的距離為：

2

R=

2 mv

qB

…⑤
（2）所有通過O點(diǎn)射入的帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域如圖2所示．
        由圖知面積為：S=

3

2

πR2…⑥
       代入得：S=

3π(mv)2

2(qB)2

…⑦
（3）設(shè)OP間的距離為x，如圖3所示：以O(shè)P為弦可畫兩個(gè)半徑相同的圓分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個(gè)粒子的軌道，
   設(shè)θ為兩粒子射入方向的夾角，由幾何關(guān)系知∠P0₁Q₁=∠P0₂Q₂=θ，從O點(diǎn)射入到相遇，粒子1的路程為半個(gè)圓弧加弧長R_θ，
粒子2的路程為半個(gè)圓弧減弧長R_θ
   粒子1的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

t

1

=

1

2

T+

Rθ

v

（其中T為圓周運(yùn)動(dòng)的周期）…⑧
   粒子2的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

t

2

=

1

2

T-

Rθ

v

…⑨
則兩粒子射入的時(shí)間間隔：t0=t1-t2=2

Rθ

v

…⑩
而：Rcos

θ

2

=

x

2

…（11）
由①⑩（11）得，x=

2mv

qB

cos

qBt0

4m

…（12）
答：（1）粒子經(jīng)過 t=

3πm

2qB

時(shí)間后再次打到隔板上．此粒子打到隔板的位置與小孔的距離為

2 mv

qB

．
    （2）所有從O點(diǎn)射入的帶電粒子在磁場中可能經(jīng)過區(qū)域的面積為S=

3π(mv)2

2(qB)2

．
    （3）P與O之間的距離為x=

2mv

qB

cos

qBt0

4m

．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，關(guān)鍵是畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出半徑和圓心角．