Question

2．如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于內(nèi)壁光滑的正方體盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)沿順時針方向做半徑為R的勻速圓周運動，問：
（1）要使盒子在最高點時盒子與小球之間剛好無作用力，則該盒子做勻速圓周運動的周期為多少？
（2）若盒子以第（1）問中周期的$\frac{1}{2}$做勻速圓周運動，則當(dāng)盒子運動到圖示與O點位于同一水平面位置時，小球?qū)�盒子的哪些面有作用力，作用力為多大？（已知重力加速度為g）

Answer 1

分析 （1）在最高點，核子與小球之間無作用力，可知靠重力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出線速度，從而得出盒子做勻速圓周運動的周期．
（2）當(dāng)盒子運動到圖示與O點位于同一水平面位置時，豎直方向上合力為零，水平方向合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．

解答 解：（1）設(shè)盒子的運動周期為T₀，依題意，小球在最高點僅受重力作用．據(jù)牛頓運動定律得：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$    ①
又$v=\frac{2πR}{{T}_{0}}$     ②
解①②兩式得：${T}_{0}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$．
（2）設(shè)此時盒子的周期為T，則此時小球的向心加速度為：
${a}_{n}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$          ④
由第一問知：$g=\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}R$     ⑤
依題意知$T=\frac{{T}_{0}}{2}$，聯(lián)立④⑤兩式得：a_n=4g    ⑥
設(shè)小球受盒子右側(cè)面的作用力為F，受下側(cè)面的作用力為N，根據(jù)牛頓運動定律知：
在水平方向上：F=ma_n     即 F=4mg    ⑦
在豎直方向上：N-mg=0  即 N=mg    ⑧
所以小球?qū)�盒子的右�?cè)面和下側(cè)面有作用力，作用力大小分別為4mg和mg．
答：（1）該盒子做勻速圓周運動的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$；
（2）小球?qū)�盒子的右�?cè)面和下側(cè)面有作用力，作用力大小分別為4mg和mg．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，知道最高點作用力為零時，靠重力提供向心力．