Question

2．如圖所示，宇航員站在某質量分布均勻的星球表面一斜坡上的P點，沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經時間t落到斜坡上另一點Q，斜面的傾角為θ，已知該星球半徑為R，不考慮其他可能存在的阻力，萬有引力常量為G．求該星球的密度和該星球上的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，根據平拋運動的規(guī)律求出星球表面的重力加速度．再根據萬有引力等于重力求出星球的質量，結合密度的公式求出星球的密度．
（2）第一宇宙速度的大小等于貼近星球表面運行的速度．根據萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大�。�

解答 解：物體落在斜面上有：$tanα=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$
所以g=$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
根據萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得星球的質量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanα}{Gt}$．
而V=$\frac{4}{3}π{R}^{2}$．
則密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$．
根據萬有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
則v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$
答：該星球的密度為$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$，該星球上的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．