Question

（2010?安徽）如圖，ABD為豎直平面內的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段為半徑R=0.2m的半圓，兩段軌道相切于B點，整個軌道處在豎直向下的勻強電場中，場強大小E=5.0×10³ V/m．一不帶電的絕緣小球甲，以速度v₀沿水平軌道向右運動，與靜止在B點帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞．已知甲、乙兩球的質量均為m=1.0×10^-2kg，乙所帶電荷量q=2.0×10^-5C，g取10m/s²．（水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質點，整個運動過程無電荷轉移） 
（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點D，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離；
（2）在滿足（1）的條件下．求的甲的速度v₀；
（3）若甲仍以速度v₀向右運動，增大甲的質量，保持乙的質量不變，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍．

Answer 1

分析：（1）對乙受力分析，乙離開最高點之后，做類平拋運動，豎直方向上勻加速運動，水平方向上勻速運動；
（2）由于兩個球發(fā)生的是彈性碰撞，所以動量守恒，機械能也守恒，列出方程可以求出甲的速度v₀；
（3）B求經(jīng)過D點后的最小的速度應該是v_D，再由動量守恒分析可得最大的速度，根據(jù)平拋運動水平方向的運動規(guī)律，可以求得范圍的大�。�

解答：解：（1）在乙恰能通過軌道的最高點的情況下，設乙到達最高點的速度為v_D，乙離開D點到達水平軌道的時間為t，乙的落點到B點的距離為x，
則由向心力公式得   m

v 2 D

R

=mg+qE      ①
豎直方向勻加速運動   2R=

1

2

（

mg+qE

m

） t²    ②
水平方向勻速運動     x=v_Dt          ③
聯(lián)立①②③得：x=0.4m      ④
（2）設碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，
根據(jù)動量守恒有：
  mv₀=mv_甲+mv_乙 ⑤
根據(jù)機械能守恒定律有：
 

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 甲

+

1

2

m

v

2 乙

          ⑥
聯(lián)立⑤⑥得：v_甲=0，v_乙=v₀          ⑦
由動能定理得：-mg?2R-qE?2R=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_乙²     ⑧
聯(lián)立①⑦⑧得：v₀=v_乙=

5(mg+qE)R m

=2

5

m/s       ⑨
（3）設甲的質量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為v_M、v_m，
根據(jù)動量守恒有：
Mv₀=Mv_M+mv_m⑩
根據(jù)機械能守恒定律有

1

2

M

v

2 0

=

1

2

M

v

2 M

+

1

2

m

v

2 m

有以上兩式可得：v_m=

2Mv0

M+m

由于M?m，可得：v_D≤v_m＜2v_D
設乙球過D點的速度為v_D^′，
由動能定理得  -mg?2R-qE?2R=

1

2

m

v

′2 D

-

1

2

m

v

2 m

聯(lián)立以上兩個方程可得：2m/s≤v_D^′＜8m/s
設乙在水平軌道上的落點到B點的距離為x'，
則有：x'=v_D^′t
所以可以解得：0.4m≤x'＜1.6m
答：（1）乙在軌道上的首次落點到B點的距離是0.4m；
（2）甲的速度是2

5

m/s；
（3）乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍是0.4m≤x'＜1.6m．

點評：在本題中物體不僅受重力的作用，還有電場力，在解題的過程中，一定要分析清楚物體的受力和運動過程，兩球在碰撞過程中動量守恒，碰后機械能守恒，題目中物體的運動過程比較復雜，在解題是一定分析清楚運動過程．