Question

（2011?浙江模擬）如圖所示，質量為m的汽車以恒定功率P從A點出發(fā)，先沿著長度為s₁，傾角為a的斜面運動到B（其受到的阻力為車重k₁倍），隨后沿著長度為s₂的水平面運動到D（其受到的阻力為車重k₂倍）．若s₁和s₂足夠長，汽車在AB、BD段最后均可達到勻速行駛．求：
（1）汽車在AB段和BD段達到勻速行駛時，其速度v₁和v₂分別為多大？耗時分別為多少？
（2）為了省油，汽車發(fā)動機在BD段至少還需工作多久才能到達d點．
（3）若汽車可先沿著長度為s₁的水平面運動（其受到的阻力為車重k₂倍），隨后沿著長度為s₁，傾角為a的斜面運動到D′點（其受到的阻力為車k₁重倍）．為簡單計，設k₁=k₂=k，請問與原路徑相比，哪個更省時，為什么？

Answer 1

分析：（1）由功率的表達式P=FV及動能定理可分別求出汽車在兩段勻速行駛的速度與時間；
（2）根據(jù)動能定理可求出汽車發(fā)動機在BD段至少還需工作的時間；
（3）由汽車克服阻力做功相同，根據(jù)動能定理可知，末速度越大的汽車工作時間越長，從而由末速度來確定誰能更省時．

解答：解：（1）在AB區(qū)間，汽車可達到勻速v₁，由力學知識可得
   v1=

P

k1mg+mgsinα

                                     
耗時t₁，由動能定理可得：Pt1-k1mgs1-mgs1sinα=

1

2

m

v

2 1

  t1=

k1mgs1+mgs1sinα+ 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                 
在BD段：達到勻速時，同理
v2=

P

k2mg

                                             
則耗時t₂，由動能定理可知：
Pt2-k2mgs2=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

可以求出
 t2=

k2mgs2+ 1 2 m(( P k2mg )2-( P k1mg+mgsinα )2)

P

                            
（2）因為汽車在AB區(qū)間速度已經達到勻速，若以v₁為初速滑行汽車不能達到D點．
假設汽車發(fā)動機在BD段至少還需工作t時間，才能使得汽車恰好能到達D點．
根據(jù)動能定理：
0-

1

2

m

v

2 1

=Pt-k2mgs2
求出
   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                       
若汽車以v₁為初速汽車滑行能達到D點，則汽車發(fā)動機在BD段工作時間為   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                                  
（3）兩個路徑中汽車克服阻力做功相同．根據(jù)動能定理
    Pt-W阻-mgs1sinα=

1

2

mv2                              
可知汽車到達D點，末速度越大，汽車發(fā)動機工作時間越長．汽車沿原路徑到達D點，最后車速為v₂，而汽車沿新路徑到D′點，末速度為v₁．
   因為v₂＞v₁                    
  所以汽車沿原路徑耗時更多．
答：（1）汽車在AB段和BD段達到勻速行駛時，其速度v₁和v₂分別為

P

k1mg+mgsinα

和

P

k2mg

；耗時分別為 t1=

k1mgs1+mgs1sinα+ 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                 
與 t2=

k2mgs2+ 1 2 m(( P k2mg )2-( P k1mg+mgsinα )2)

P

；                         
（2）為了省油，汽車發(fā)動機在BD段至少還需工作時間為   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

  才能到達d點．
（3）汽車沿著長度為s₁的水平面運動（其受到的阻力為車重k₂倍），隨后沿著長度為s₁，傾角為a的斜面運動到D′點（其受到的阻力為車k₁重倍），更能省時．

點評：本題考查動能定理，并體現(xiàn)動能定理的過程重要性．同時要注意定理中的速度與位移是同一參考系，及功的正負．還要關注的是牽引力做功W=Pt．