Question

某游樂(lè)場(chǎng)中有一種叫“空中飛椅”的游樂(lè)設(shè)施，其基本裝置是將繩子上端固定在轉(zhuǎn)盤(pán)的邊緣上，繩子下端連接座椅，人坐在座椅上隨轉(zhuǎn)盤(pán)旋轉(zhuǎn)而在空中飛旋．若將人和座椅看成是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則可簡(jiǎn)化為如圖所示的物理模型．其中P為處于水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)盤(pán)，可繞豎直轉(zhuǎn)軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)繩長(zhǎng)l=10m，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=60kg，轉(zhuǎn)盤(pán)靜止時(shí)質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸之間的距離dd=4m．轉(zhuǎn)盤(pán)逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向的夾角θ=37°．（不計(jì)空氣阻力及繩重，繩子不可伸長(zhǎng)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度及繩子的拉力；
（2）轉(zhuǎn)盤(pán)在上述勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，一位游客手中的蘋(píng)果突然脫落，蘋(píng)果第一次落地點(diǎn)與豎直轉(zhuǎn)OO′軸的水平距離．已知蘋(píng)果脫落時(shí)離地面的高度h=5m．

Answer 1

分析：（1）質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大小和繩子的拉力．
（2）蘋(píng)果突然脫落后沿圓周的切線方向平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求出水平位移，通過(guò)幾何關(guān)系求出果第一次落地點(diǎn)與豎直轉(zhuǎn)OO′軸的水平距離．

解答：解：（1）如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得：D=d+lsinθ=4m+10sin37°m=10m
對(duì)質(zhì)點(diǎn)受力分析可得：
  mgtanθ=mω²D
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)得：ω=

gtanθ D

=

10tan37° 10

=

3

2

rad/s
繩中的拉力：T=

mg

cosθ

=

600

0.8

=750N
（2）蘋(píng)果突然脫落后沿圓周的切線方向平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)蘋(píng)果從拋出至落地的水平距離為x，蘋(píng)果下落的時(shí)間為t．
則：x=vt
h=

1

2

gt2
又v=ωD，
聯(lián)立得x=ωD

2h g

=

3

2

×10×

2×5 10

=5

3

m
根據(jù)幾何關(guān)系得，蘋(píng)果第一次落地點(diǎn)與豎直轉(zhuǎn)OO′軸的水平距離s=

x2+D2

=

(5 3 )2+102

≈13.2m
答：（1）質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度是

3

2

rad/s，繩子的拉力是750N；
（2）轉(zhuǎn)盤(pán)在上述勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，一位游客手中的蘋(píng)果突然脫落，蘋(píng)果第一次落地點(diǎn)與豎直轉(zhuǎn)OO′軸的水平距離是13.2m．

點(diǎn)評(píng)：本題有兩個(gè)關(guān)鍵之處：1、是分析質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力的來(lái)源．2、是運(yùn)用幾何知識(shí)求水平距離s，要有空間想象能力或畫(huà)圖說(shuō)明．