(2011?臺(tái)州模擬)如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系Oxy,沿y軸放置一平面熒光屏,在y>0,0<x<0.5m的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5T.在原點(diǎn)O放一個(gè)開有小孔粒子源,粒子源能同時(shí)放出比荷為q/m=4.0×106kg/C的不同速率的正離子束,沿與x軸成30°角從小孔射入磁場(chǎng),最后打在熒光屏上,使熒光屏發(fā)亮.入射正離子束的速率在0到最大值vm=2.0×106m/s的范圍內(nèi),不計(jì)離子之間的相互作用,也不計(jì)離子的重力.
(1)求離子打到熒光屏上的范圍.
(2)若在某時(shí)刻(設(shè)為t=0時(shí)刻)沿與x軸成30°角方向射入各種速率的正離子,求經(jīng)過
3
×10-7
s時(shí)這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程.
(3)實(shí)際上,從O點(diǎn)射入的正離子束有一定的寬度,設(shè)正離子將在與x軸成30°~60°角內(nèi)進(jìn)入磁場(chǎng).則某時(shí)刻(設(shè)為t=0時(shí)刻)在這一寬度內(nèi)向各個(gè)方向射入各種速率的離子,求經(jīng)過
3
×10-7
s時(shí)這些離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積.
分析:(1)離子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力提供向心力,由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式求出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最大的軌道半徑rm,畫出軌跡如下左圖所示,由幾何關(guān)系求出離子打到熒光屏上的范圍.
(2)由T=
2πm
qB
求出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期,根據(jù)t=
3
×10-7
s與周期T的關(guān)系,求出軌跡的圓心角.設(shè)離子的位置坐標(biāo)為(x,y),得到參數(shù)方程:y=rcos30°和 x=r-rsin30°,即能求出軌跡方程.
(3)分析與x軸成60°方向入射的離子的軌跡,經(jīng)過時(shí)間t=
3
×10-7
s時(shí),離子轉(zhuǎn)過的圓心角為φ=
T
t=
π
3
剛好打在y軸上,則知這些速率不同的離子,都打在y軸上.作出離子可能出現(xiàn)的區(qū)域范圍,由幾何知識(shí)求出面積.
解答:解:(1)由qvB=
mv2
r
得,r=
mv
qB
,rm=
mvm
qB
=1m

離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最大軌道半徑:rm=1m
由幾何關(guān)系知,最大速度的離子剛好沿磁場(chǎng)邊緣打在熒光屏上,如左圖所示.
所以O(shè)A1長度為:y=2rcos300=
3
m
即離子打到熒光屏上的范圍為:[0,
3
m]

(2)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為:T=
2πm
qB
=π×10-6s

由題,經(jīng)過時(shí)間:t=
3
×10-7
s,則
離子轉(zhuǎn)過的圓心角為  φ=
T
t=
π
3

設(shè)
3
×10-7
s這個(gè)時(shí)刻某離子的位置坐標(biāo)為(x,y),則有
   y=rcos30°
   x=r-rsin30°
所以解得:y=
3
x
就是所求的曲線方程.
(3)由幾何關(guān)系知,與x軸成60°方向入射的離子,經(jīng)過時(shí)間:t=
3
×10-7
s時(shí)離子轉(zhuǎn)過的圓心角為φ=
T
t=
π
3
剛好打在y軸上,將t=
3
×10-7
s時(shí)刻這些離子所在坐標(biāo)連成曲線,方程就是:x=0即都打在y軸上,所以在t=0時(shí)刻與x軸成30°~60°內(nèi)進(jìn)入磁場(chǎng)的正離子在t=
3
×10-7
s時(shí)刻全部出現(xiàn)在以O(shè)為圓心的扇形OA2C1范圍內(nèi).如圖 
則離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積:S=
πrm2
12
=
π
12
m2≈0.26m2

答:
(1)離子打到熒光屏上的范圍為[0,
3
m
].
(2)經(jīng)過
3
×10-7
s時(shí)這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程是y=
3
x.
(3)經(jīng)過
3
×10-7
s時(shí)這些離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積為0.26m2
點(diǎn)評(píng):本題是帶電粒子在有界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題,要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)畫軌跡,確定軌跡的圓心角,運(yùn)用參數(shù)方程求出離子的軌跡方程.
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2h
t2
2h
t2
;
(4)改變右邊砝碼的質(zhì)量△m,測(cè)量相應(yīng)的加速度a,得到多組△m及a的數(shù)據(jù),作出“a~△m”圖線;
(5)若求得圖線的斜率k=4m/kg?s2,截距為b=2m/s2,沙袋的質(zhì)量m1=
3
3
 kg,m2=
1.5
1.5
kg.

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