Question

中國計劃在2017年實現(xiàn)返回式月球軟著陸器對月球進(jìn)行科學(xué)探測，如圖所示，屆時發(fā)射一顆運(yùn)動半徑為r的繞月衛(wèi)星，登月著陸器從繞月衛(wèi)星出發(fā)，沿橢圓軌道降落到月球的表面上，與月球表面經(jīng)多次碰撞和彈跳才停下來，假設(shè)著陸器第一次彈起的最大高度為h，水平速度為v₁，第二次著陸時速度為v₂，已知月球半徑為R，著陸器質(zhì)量為m，不計一切阻力和月球的自轉(zhuǎn)．求：
（1）月球表面的重力加速度g月．
（2）在月球表面發(fā)射一顆月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度是多大？
（3）設(shè)想軟著陸器完成了對月球的科學(xué)考察任務(wù)后，再返回繞月衛(wèi)星，返回與衛(wèi)星對接時，二者具有相同的速度，著陸器在返回過程中需克服月球引力做功W=mg月(1-

R

r

)，則著陸器的發(fā)動機(jī)應(yīng)對著陸器做多少功，才能使著陸器安全返回到繞月衛(wèi)星．

Answer 1

分析：（1）著陸器在從高度為h到第二次著陸的過程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出月球表面的重力加速度．
（2）當(dāng)衛(wèi)星貼近月球表面飛行時，此時的發(fā)射速度最小，根據(jù)萬有引力提供向心力，求出最小的發(fā)射速度．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出衛(wèi)星在半徑為r的軌道上的速度，再通過能量守恒定律求出著陸器的發(fā)動機(jī)應(yīng)對著陸器做功的大小．

解答：解：（1）著陸器從高度為h到第二次著陸，由機(jī)械能守恒有：mg月h+

1

2

mv12=

1

2

mv22
得出月球表面的重力加速度為：g月=

v22-v12

2h

----------①
（2）當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑為月球半徑R時，發(fā)射速度最小，
設(shè)最小速度為v，由萬有引力提供向心力有：m衛(wèi)g月=

m衛(wèi)v2

R

------------②
由①②式可得出：v=

(V22-V12)R 2h

-------------③
（3）著陸器與衛(wèi)星的對接速度為V₃，對繞月衛(wèi)星由牛頓定律有：

GM月m衛(wèi)′

r2

=

m衛(wèi)′v32

r

--------------④
又在月球表面有：

GM月m

R2

=mg月---------------------⑤
著陸器與衛(wèi)星的對接時，發(fā)動機(jī)對著陸器所做的功E，由能量守恒有：E=W+

1

2

mV32=mg月(1-

R

r

)+

1

2

mV32------⑥
聯(lián)立①④⑤⑥得出：E=mg月(1+

R2-2R

2r

)=m

v 2 2 - v 2 1

2h

(1+

R2-2R

2r

)
答：（1）月球表面的重力加速度g月=

v22-v12

2h

．
（2）在月球表面發(fā)射一顆月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度是v=

(V22-V12)R 2h

．
（3）著陸器的發(fā)動機(jī)應(yīng)對著陸器做功為m

v 2 2 - v 2 1

2h

(1+

R2-2R

2r

)，才能使著陸器安全返回到繞月衛(wèi)星．

點評：本題綜合考查了萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，以及機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律等，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．