Question

【題目】如圖，兩勁度系數(shù)均為k的同樣的輕彈性繩的上端固定在一水平面上，下端懸掛一質(zhì)量為m的小物塊。平衡時(shí)，輕彈性繩與水平面的夾角為0，彈性繩長(zhǎng)度為l0．現(xiàn)將小物塊向下拉一段微小的距離后從靜止釋放。

（1）證明小物塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)；

（2）若k=0.50N/m、m=50g、0=30°、l0=2.0m，重力加速度g=9.8 m/s。，求小物塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T；

（3）當(dāng)小物塊下拉的距離為0.010m時(shí)，寫出此后該小物塊相對(duì)于平衡位置的偏離隨時(shí)間變化的方程。已知：當(dāng)x<<1時(shí)，， ．

Answer 1

【答案】（1）F回=－(2ksin2α0+)y；（2）1.8s；（3）y=0.010×cos(3.5×t)

【解析】

（1）取小物塊的平衡位置為原點(diǎn)O，y軸的方向豎直向下，如圖所示：

由牛頓第二定律可知

ma=mg－2k(l－L)sinα ①

式中a為物塊的加速度，L為彈性繩的原長(zhǎng)；l0為物塊靜止時(shí)，彈性繩的長(zhǎng)；l和分別為物塊離開(kāi)平衡位置的位移為y時(shí)彈性繩的長(zhǎng)度和彈性繩與水平面的夾角。

由幾何關(guān)系得

l= ②

sinα= ③

d=l0cosα0 ④

④代入② 展開(kāi)，化簡(jiǎn)得

l=

由于y是小量，y2是二階無(wú)窮小量，可略去。得

l=

由小量展開(kāi)式：當(dāng)x<<1時(shí)，，知

l==l0+ysinα0 ⑤

將⑤代入③，得

sinα=

由 當(dāng)x<<1時(shí)，，知

sinα=(l0sinα0+y)[ (1－sinα0)]

l0sinα= l0sinα0+y－y sin2α0－(y2/l0)sinα0

且 忽略y2項(xiàng)

l0sinα= l0sinα0+ycos2α0

sinα= sinα0+(y/l0)cos2α0 ⑥

當(dāng)小物塊處在平衡位置時(shí)有

mg=2k(l0－L)sinα0

即

L =l0－ ⑦

⑤⑥⑦(代去l，L，sinα)代入① 得

ma=mg－2k[l0+ysinα0－l0+][ sinα0+(y/l0)cos2α0 ]

ma=mg－2k[ysin2α0+ + ]

略去y2項(xiàng)

ma=－(2ksin2α0+)y

由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征方程知

F回=－Ky

所以

K=(2ksin2α0+)

即

F回=－(2ksin2α0+)y

由此，物體的運(yùn)動(dòng)滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征方程。因此，當(dāng)y很小時(shí)，小物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

（2）小物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為

T=2π= ⑧

將題給數(shù)據(jù)代入⑧，得小物塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期

T=1.8s

（3）因?qū)⑿∥飰K拉開(kāi)距離y0=0.010m 時(shí)從靜止松手，故小物塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為A=0.010m，初始時(shí)，小物塊速度為零，小物塊位于最大振幅處，其初相位為

φ0=0 ⑨

圓頻率為

ω0=

故在國(guó)際單位制中，小物塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程為

y=0.010cos(3.5t)