Question

如圖所示，可看成質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為m₁=1kg的物體A和m₂=2kg的物體B之間夾著一壓縮的輕、短彈簧，兩物體用細(xì)線綁著放在水平傳送帶上，物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.2，傳送帶兩端與光滑水平地面相切．某一時(shí)刻燒斷細(xì)線，同時(shí)傳送帶以v=3m/s的恒定速度沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)（忽略傳送帶加速和彈簧彈開的時(shí)間）．彈開時(shí)，A獲得的速度為v_A=4m/s，A、B距傳送帶兩端的距離如圖所示，（取g=10m/s²）求：

（1）彈開過(guò)程彈簧釋放的彈性勢(shì)能．
（2）A、B到達(dá)傳送帶兩端時(shí)的速度大�。�
（3）若在傳送帶兩端外的水平地面上各固定放置一半徑相同的光滑豎直圓軌道，要使兩物體第一次沖上內(nèi)圓軌道后都不脫離軌道，軌道半徑應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）A、B彈簧系統(tǒng)在彈開過(guò)程動(dòng)量和能量守恒列出等式求解
（2）彈開后B做加速運(yùn)動(dòng)，彈開后A做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求解
（3）欲使A、B均不脫離軌道，有兩種情形：
①均能過(guò)軌道的最高點(diǎn)，②均不超過(guò)圓心等高處，根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)能定理求解．

解答：解：（1）A、B、彈簧系統(tǒng)在彈開過(guò)程動(dòng)量和能量守恒0=m₁v_A-m₂v_B
解得彈開后B的速度大小v_B=2m/s
Ep=

1

2

m1

v

2 A

+

1

2

m2

v

2 B

解得彈開過(guò)程彈簧釋放的彈性勢(shì)能E_p=12（J）
（2）彈開后B做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)B一直加速到右端，根據(jù)動(dòng)能定理得
μm2glB=

1

2

m2

v

′2 B

-

1

2

m2

v

2 B

解得：

v

′ B

=3(m/s)
彈開后A做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)一直減速到左端，根據(jù)動(dòng)能定理得
-μm1glA=

1

2

m1

v

′2 A

-

1

2

m1

v

2 A

解得：

v

′ A

=2

2

(m/s)
（3）欲使A、B均不脫離軌道，有兩種情形：
①均能過(guò)軌道的最高點(diǎn)，設(shè)恰能過(guò)最高點(diǎn)
mg=m

v 2 c

R

在最低點(diǎn)速度為v₀，最低到最高過(guò)程，
根據(jù)動(dòng)能定理得：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 c

+2mgR
解得：R=

v 2 0

5g

因

v

′ A

＜

v

′ B

，故取A，解得R1=

v ′2 A

5g

=0.16(m)
②均不超過(guò)圓心等高處，設(shè)恰到圓心等高處：

1

2

m

v

′2 0

=mgR2
解得：R2=

v ′2 0

2g

因

v

′ A

＜

v

′ B

，故取B，
解得R2=

v ′2 B

2g

=0.45(m)
綜上：R≤0.16（m）或R≥0.45（m）
答：（1）彈開過(guò)程彈簧釋放的彈性勢(shì)能是12（J）．
（2）A、B到達(dá)傳送帶兩端時(shí)的速度大小分別是2

2

m/s和3m/s．
（3）若軌道半徑應(yīng)滿足條件是R≤0.16（m）或R≥0.45（m）

點(diǎn)評(píng)：此題要求熟練掌握動(dòng)能定理、系統(tǒng)動(dòng)量守恒、牛頓第二定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，包含知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，屬于難題