Question

如圖所示的“s”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓對(duì)接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動(dòng)．彈射裝置將一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)水平彈射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過(guò)軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出（拋出后小球不會(huì)再碰軌道），已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，不計(jì)其它機(jī)械能損失，ab段長(zhǎng)L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質(zhì)量m=0.01kg，軌道質(zhì)量為M=0.26kg，g=10m/s²，求：
（1）若V₀=5m/s，小球經(jīng)過(guò)軌道的最高點(diǎn)d時(shí)，管道對(duì)小球作用力的大小和方向．
（2）小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)V₀至少為多少時(shí)，小球經(jīng)過(guò)兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為零．

Answer 1

分析：（1）對(duì)a到d全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理求出運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)速度，在d點(diǎn)小球受重力和管道對(duì)小球的作用力，根據(jù)兩個(gè)力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，求出管道對(duì)小球作用力的大小和方向．
（2）在c點(diǎn)對(duì)小球進(jìn)行受力分析，依據(jù)向心力公式列方程，然后結(jié)合動(dòng)能定理即可求解．

解答：解：（1）設(shè)小球到達(dá)d點(diǎn)處速度為v，由動(dòng)能定理，得
-μmgL-4mgR=

1

2

mv_d²-

1

2

mv₀²…①
當(dāng)小球通過(guò)d點(diǎn)時(shí)，由重力和彈力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得
mg+F=

mv 2 d

R

…②
 由①②解得管道對(duì)小球作用力F=1.1N，方向豎直向下．
（2）設(shè)小球到達(dá)c點(diǎn)處速度為v_c，由動(dòng)能定理，得
-μmgL-mg2R=

1

2

mv_c²-

1

2

mv₀²…③
當(dāng)小球通過(guò)c點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得c點(diǎn)時(shí)
F′+mg=

mv 2 c

R

…④
要使軌道對(duì)地面的壓力為零，則有：F′=Mg…⑤
聯(lián)立③④⑤并代入數(shù)值，解得小球的最小速度：V₀=6m/s
答：（1）若V₀=5m/s，小球經(jīng)過(guò)軌道的最高點(diǎn)d時(shí)，管道對(duì)小球作用力的大小是1.1N，方向豎直向下．
（2）小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)V₀至少為6m/s時(shí)，小球經(jīng)過(guò)兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為零．

點(diǎn)評(píng)：該題為動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合的綜合題，解決本題的關(guān)鍵掌握動(dòng)能定理，以及知道做圓周運(yùn)動(dòng)沿半徑方向的合力提供向心力．