(2011?長寧區(qū)一模)一質量不計的直角形支架兩端分別連接質量為m和2m的小球A和 B.支架的兩直角邊長度分別為2l和l,支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)轉動,如圖所示.開始時OA邊處于水平位置,由靜止釋放,不計任何阻力.轉動中設OA邊與水平方向的夾角為θ,則當A球速度達最大時θ為
45°
45°
;假定支架未轉動時兩小球的總重力勢能為Eo,轉動中當A的速度為
8E0
9m
8E0
9m
時兩小球的總重力勢能為Eo/3.
分析:當兩個小球系統(tǒng)的質量中心最低時速度最大;也可以用解析法,先假設轉過θ,根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒,列式求出速度的一般表達式,然后再對表達式進行討論即可.
解答:解:根據(jù)題意知,A、B兩球的角速度相等,線速度之比等于轉動半徑之比,為2:1,小球A、B系統(tǒng)中,只有重力勢能和動能相互轉化,系統(tǒng)機械能守恒,假設轉動θ,則OA桿與水平方向的夾角為θ,則A球減小的機械能等于B球增加的機械能,有
mg?2l?sinθ-2mg?(l-lcosθ)=
1
2
mv2
+
1
2
?2m?(
v
2
)
2

解得
v=
8
3
gl(sinθ+cosθ-1)

由數(shù)學知識知,當θ=45°時,sinθ+cosθ有最大值,故當θ=45°時,A球的速度最大;
重力勢能減小
2
3
E0
,故動能增加
2
3
E0
,有
2
3
E0
=
1
2
m
v
2
1
+
1
2
?2m?(
v1
2
)
2

解得
v1=
8E0
9m

故答案為:45°,
8E0
9m
點評:本題關鍵根據(jù)兩個球系統(tǒng)機械能守恒,運用系統(tǒng)機械能守恒定律列式得出速度與轉動角度θ之間的關系,然后根據(jù)速度表達式進行討論.
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