Question

如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長(zhǎng)均為L(zhǎng)=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R=2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以初動(dòng)能E_k0從B點(diǎn)開(kāi)始沿BA向上運(yùn)動(dòng)，小球與兩段直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=

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，設(shè)小球經(jīng)過(guò)軌道連接處均無(wú)能量損失．求：（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）要使小球完成一周運(yùn)動(dòng)回到B點(diǎn)，求初動(dòng)能E_K0至少多大；
（2）若小球以第一問(wèn)E_k0數(shù)值從B出發(fā)，求小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能及小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)能量守恒定律，求出小球上升到最高點(diǎn)所需的能量，再求出小球返回B點(diǎn)時(shí)所剩的動(dòng)能，從而判斷出小球只要能上升到最高點(diǎn)，即可回到B點(diǎn)，從而確定小球完成一周運(yùn)動(dòng)回到B點(diǎn)的最小初動(dòng)能．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理或能量守恒確定小球停止所在的位置，從而根據(jù)動(dòng)能定理求出小球在CD上運(yùn)動(dòng)的路程．

解答：解：（1）從B點(diǎn)開(kāi)始到軌道最高點(diǎn)需要能量：
E_k0=mgR（1-cosθ）+mgLsinθ+μmgLcosθ
代入解得：E_k0=30J
從最高點(diǎn)向左返回B點(diǎn)設(shè)剩余動(dòng)能E_kB
E_kB=mg2R-mgr（1+cosθ）-μmgL=12J
說(shuō)明只要小球能從點(diǎn)上升到最高點(diǎn)以后就可以回到B點(diǎn)，要使小球完成一周運(yùn)動(dòng)回到B點(diǎn)，初動(dòng)能E_K0至少30J
（2）小球第一次回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為12J，小球沿BA向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，距離B點(diǎn)為X，則有：
E_kB=μmgXcosθ+mgXsinθ
X=

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m＜3m
小球掉頭向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為：
E_KD=mgr（1+cosθ）+mgXsinθ-μmgXcosθ-μmgL=12.6J
小球第二次到D點(diǎn)后還剩12.6J的能量，沿DP弧上升一段后再返回DC段，到C點(diǎn)只剩下2.6J的能量．
因此小球無(wú)法繼續(xù)上升到B點(diǎn)，滑到BQC某處后開(kāi)始下滑，之后受摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點(diǎn)．  
由動(dòng)能定理：E_KD=μ mg x
可得小球在CD上所通過(guò)的路程為：x=3.78m
小球通過(guò)CD段的總路程為：X_總=2L+x=9.78m
答：（1）要使小球完成一周運(yùn)動(dòng)回到B點(diǎn)，求初動(dòng)能E_K0至少30J．
（2）小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為12.6J，小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程為9.78m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵能夠理清小球的運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，靈活運(yùn)用動(dòng)能定理或能量守恒定律進(jìn)行求解．