Question

（2011?江蘇模擬）如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中水平直軌AB與傾斜直軌CD長(zhǎng)均為L(zhǎng)=6m，圓弧形軌道AQC和BPD均光滑，AQC的半徑為r=1m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂D、O₁C與豎直方向的夾角均為θ=37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0=24J的初動(dòng)能從B點(diǎn)開(kāi)始水平向左運(yùn)動(dòng)，小球與兩段直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=

1

6

，設(shè)小球經(jīng)過(guò)軌道連接處均無(wú)能量損失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小球第一次回到B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小球第二次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（3）小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析：（1）對(duì)從B點(diǎn)出發(fā)到回到B點(diǎn)整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出小球第一次回到B點(diǎn)時(shí)的速度大小．
（2）小球第二次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，對(duì)B到C運(yùn)用動(dòng)能定理，求出到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能．
（3）小球最終只能在圓弧形軌道BPD上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即到達(dá)D點(diǎn)速度為零，對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得，

1

2

mv₁²-E_k0=-μmgLcosθ-μmgL
代入 解得v₁=

12

m/s≈3.4m/s
（2）小球第一次回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EK1=

1

2

mv12=6J，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)動(dòng)能定理得，mgr（1+cosθ）-μmgLcosθ=E_KC-E_K1
當(dāng)?shù)竭_(dá)C點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為E_KC=mgr（1+cosθ）+E_K1-μmgLcosθ=18+6-8=16J．
（3）小球第二次到達(dá)C點(diǎn)后還剩16J的能量，繼續(xù)上升還需克服重力做功為W=mgr（1+cos37°）=18J，才能到達(dá)A點(diǎn)，因此小球無(wú)法繼續(xù)上升，滑到AQC某處后開(kāi)始下滑，之后受摩擦力作用，上升高度越來(lái)越低．
小球最終只能在圓弧形軌道BPD上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即到達(dá)D點(diǎn)速度為零，
由動(dòng)能定理：

1

2

mvD2-

1

2

mvC2=mgLsinθ-μmgscosθ
可得小球在斜軌CD上所通過(guò)的路程為s=39m
小球通過(guò)CD段的總路程為s=2L+s=51m
答：（1）小球第一次回到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為3.4m/s．
（2）小球第二次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為16J．
（3）小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程為51m．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及多個(gè)過(guò)程運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是正確地進(jìn)行受力分析，選擇適當(dāng)?shù)难芯窟^(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．