Question

（2013?福州模擬）如圖甲所示，在豎直方向存在著兩種區(qū)域：無(wú)電場(chǎng)區(qū)域和有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域．兩種區(qū)域相互間隔出現(xiàn)，豎直高度均為h．電場(chǎng)區(qū)域共有n個(gè)，水平方向足夠長(zhǎng)，每一電場(chǎng)區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)的大小均為E，且E=mg/q，場(chǎng)強(qiáng)的方向均豎直向上．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球（看作質(zhì)點(diǎn)），從第一無(wú)電場(chǎng)區(qū)域的上邊緣由靜止下落，不計(jì)空氣阻力．

求：（1）小球剛離開(kāi)第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大�。�
（2）小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛好離開(kāi)第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)域所經(jīng)歷的總時(shí)間（可直接用數(shù)列形式表示）；
（3）若在第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)加上水平方向的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化規(guī)律如圖乙所 示，已知圖象中B0=

m 2ngh

qh

，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期T是帶電小球在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期的2倍，問(wèn)哪段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入第n個(gè)電場(chǎng)的小球能返回到與出發(fā)點(diǎn)等高的位置？

Answer 1

分析：1、小球在無(wú)電場(chǎng)區(qū)，只受重力作用，做加速度等于重力加速度g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小球在電場(chǎng)區(qū)，所受電場(chǎng)力等于重力，做勻速直線運(yùn)動(dòng)． 
所以小球在無(wú)電場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)等效看成自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度位移公式vn2=2gnh，計(jì)算小球剛離開(kāi)第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度．
2、小球在無(wú)電場(chǎng)區(qū)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)，因?yàn)殡妶?chǎng)力和重力平衡，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球在無(wú)電場(chǎng)區(qū)域中所經(jīng)歷的時(shí)間．根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的速度位移公式計(jì)算小球在第1、第2、第3、…第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的速度，從而計(jì)算出各段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，把各段時(shí)間求和即可．
3、當(dāng)在第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)加上方向垂直豎直平面的磁場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力與重力平衡，帶電小球僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
在0～

T

2

時(shí)間內(nèi)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)中的帶電小球，B1qvn=

mvn2

r1

，解得r1=

mvn

qB1

=

m 2ngh

0.5qB0

=2h
在

T

2

～T時(shí)間內(nèi)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)中的帶電小球，B2qvn=

mvn2

r2

，解得r2=

mvn

qB2

=

m 2ngh

qB0

=h
只有在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)中的帶電小球，運(yùn)動(dòng)

1

4

T后沿豎直方向進(jìn)入第n個(gè)無(wú)電場(chǎng)區(qū)，根據(jù)動(dòng)能定理：
-mgh′=0-

1

2

mvn2，解得h′=nh．

解答：解：（1）小球在無(wú)電場(chǎng)區(qū)，只受重力作用，做加速度等于重力加速度g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小球在電場(chǎng)區(qū)，所受電場(chǎng)力等于重力，做勻速直線運(yùn)動(dòng)． 
小球在無(wú)電場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)等效看成自由落體運(yùn)動(dòng)，位移為nh，則小球剛離開(kāi)第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度，根據(jù)速度位移公式vn2=2gnh
解得vn=

2ngh

（2）小球在無(wú)電場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間T₁
nh=

1

2

gT12
T1=

2nh g

設(shè)小球在第1、第2、第3、…第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的速度分別為v₁、v₂、v₃-----、v_n；
v12=2gh　　　　　         v1=

2gh

v22=2g(2h)=4gh          v2=

4gh

v32=2g(3h)=6gh          v3=

6gh

…
vn2=2gnh                　vn=

2ngh

小球在第1、第2、第3、--------第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t₁、t₂、t₃…、t_n；
小球在電場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間T₂：
T₂=t₁+t₂+t₃+…+t_n       
=

h

v1

+

h

v2

+

h

v3

+…+

h

vn

=h(

1

v1

+

1

v2

+

1

v3

+…+

1

vn

)
=h(

1

2gh

+

1

4gh

+

1

6gh

+…+

1

2ngh

)
=

h 2g

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
設(shè)小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛好離開(kāi)第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)域所經(jīng)歷的總時(shí)間T
T=T₁+T₂
T=

2nh g

+

h 2g

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
（3）當(dāng)在第n個(gè)電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)加上方向垂直豎直平面的磁場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力與重力平衡，帶電小球僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
在0～

T

2

時(shí)間內(nèi)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)中的帶電小球，洛倫茲力提供向心力B1qvn=

mvn2

r1

，
解得r1=

mvn

qB1

=

m 2ngh

0.5qB0

=2h
在

T

2

～T時(shí)間內(nèi)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)中的帶電小球，洛倫茲力提供向心力B2qvn=

mvn2

r2

解得r2=

mvn

qB2

=

m 2ngh

qB0

=h
只有在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)中的帶電小球，運(yùn)動(dòng)

1

4

T后沿豎直方向進(jìn)入第n個(gè)無(wú)電場(chǎng)區(qū)，根據(jù)動(dòng)能定理：
-mgh′=0-

1

2

mvn2
解得h′=nh
所以在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入第n個(gè)電場(chǎng)的小球能返回到與出發(fā)點(diǎn)等高的位置．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清小球在無(wú)電場(chǎng)區(qū)和電場(chǎng)區(qū)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．