Question

兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間距為l．導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒PQ和MN，構(gòu)成矩形回路，如圖所示．導(dǎo)體棒PQ的質(zhì)量為m、MN的質(zhì)量為2m，兩者的電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì)．在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行．開始時(shí)，棒MN靜止處于距導(dǎo)軌右端為d處，PQ棒以大小為v₀的初速度從導(dǎo)軌左端開始運(yùn)動(dòng)（如圖）．忽略回路的電流對(duì)磁場(chǎng)產(chǎn)生的影響．
（1）求PQ棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路產(chǎn)生的電流大小．
（2）若棒MN脫離導(dǎo)軌時(shí)的速度大小為

v0

4

，則回路中產(chǎn)生的焦耳熱是多少？
（3）若原來(lái)回路中靠近MN棒一側(cè)的導(dǎo)軌中串聯(lián)接有一個(gè)恒流電源，該電源使回路中的電流大小始終保持為I₀（沿PMNQP方向），試討論MN棒脫離導(dǎo)軌時(shí)速度v的大小與d的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）本題中兩根導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況：ab棒向cd棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應(yīng)電流，由法拉第電磁感應(yīng)定律，求出棒PQ產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，再求出回路產(chǎn)生的電流大小；
（2）ab棒受到的與運(yùn)動(dòng)方向相反的安培力作用作減速運(yùn)動(dòng)，cd棒則在安培力作用下作加速運(yùn)動(dòng)．在ab棒的速度大于cd棒的速度時(shí)，回路總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速，兩棒速度達(dá)到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度v作勻速運(yùn)動(dòng)，由于平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面且兩棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行，故由兩棒組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒mv₀=2mv，再由能量守恒求出焦耳熱的關(guān)鍵；
（3）回路中的電流始終保持為I₀，則棒PQ和MN所受的安培力大小保持不變．若d足夠長(zhǎng)，則棒PQ先向右勻減速運(yùn)動(dòng)再向左勻加速運(yùn)動(dòng)，返回軌道左端時(shí)速度大小仍為v₀，而這個(gè)過程棒MN一直向右勻加速運(yùn)動(dòng)，使用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理可以求出結(jié)果．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律，棒PQ產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=Blv₀①
則回路產(chǎn)生的電流大小I=

Blv0

2R

②
（2）棒PQ和MN在運(yùn)動(dòng)過程中始終受到等大反向的安培力，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，得mv0=mv1+2m?

v0

4

③
由能量守恒定律，回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

-

1

2

2m(

v0

4

)2④
解得Q=

5

16

m

v

2 0

⑤
（3）回路中的電流始終保持為I₀，則棒PQ和MN所受的安培力大小保持不變．若d足夠長(zhǎng)，則棒PQ先向右勻減速運(yùn)動(dòng)再向左勻加速運(yùn)動(dòng)，返回軌道左端時(shí)速度大小仍為v₀，而這個(gè)過程棒MN一直向右勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)量守恒定律得mv0=m(-v0)+2m

v

′ 2

⑥
設(shè)這個(gè)過程棒MN的位移為x，由動(dòng)能定理得I0Blx=

1

2

2mv′

2 2

⑦
解得x=

m v 2 0

I0Bl

⑧
討論：
①當(dāng)d＜

m v 2 0

I0Bl

時(shí)，棒MN在導(dǎo)軌上一直向右勻加速運(yùn)動(dòng)直到脫離導(dǎo)軌，由動(dòng)能定理得I0Bld=

1

2

2mv2
解得MN棒脫離導(dǎo)軌時(shí)的速度v=

I0Bld m

⑨
②當(dāng)d≥

m v 2 0

I0Bl

時(shí)，棒PQ先從導(dǎo)軌左端脫離導(dǎo)軌，棒MN之后保持勻速運(yùn)動(dòng)直到脫離導(dǎo)軌，脫離導(dǎo)軌時(shí)的速度v=v'₂=v₀⑩
答：（1）PQ棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路產(chǎn)生的電流I=

Blv0

2R

；
（2）若棒MN脫離導(dǎo)軌時(shí)的速度大小為

v0

4

，則回路中產(chǎn)生的焦耳熱是Q=

5

16

m

v

2 0

；
（3）MN棒脫離導(dǎo)軌時(shí)速度v的大小與d的關(guān)系．①當(dāng)d＜

m v 2 0

I0Bl

時(shí)，棒MN在導(dǎo)軌上一直向右勻加速運(yùn)動(dòng)直到脫離導(dǎo)軌，由動(dòng)能定理得I0Bld=

1

2

2mv2
解得MN棒脫離導(dǎo)軌時(shí)的速度v=

I0Bld m

②當(dāng)d≥

m v 2 0

I0Bl

時(shí)，棒PQ先從導(dǎo)軌左端脫離導(dǎo)軌，棒MN之后保持勻速運(yùn)動(dòng)直到脫離導(dǎo)軌，脫離導(dǎo)軌時(shí)的速度v=v'₂=v₀．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：第一問半徑簡(jiǎn)單，第二問是動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律及能量守恒定律在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的應(yīng)用問題，分析兩棒組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中是不是合外力為零或者內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力的系統(tǒng)總動(dòng)量守恒的條件，從而為確定兩棒最后的末速度找到解決途徑是關(guān)鍵，之后分析這類電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化較易：系統(tǒng)減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱；第三問較為復(fù)雜：是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律綜合的力電綜合問題，故本題屬于難題．