Question

如圖所示，電阻忽略不計的、兩根平行的光滑金屬導軌豎直放置，其上端接一阻值為3Ω的定值電阻R．在水平虛線L₁、L₂間有一與導軌所在平面垂直的勻強磁場B、磁場區(qū)域的高度為d=0.5m．導體棒a的質量m_a=0.2kg，電阻R_a=3Ω；導體棒b的質量m_b=0.1kg，電阻R_b=6Ω．它們分別從圖中M、N處同時由靜止開始在導軌上無摩擦向下滑動，且都能勻速穿過磁場區(qū)域，當b剛穿出磁場時a正好進入磁場．設重力加速度為g=10m/s²．（不計a、b之間的作用，整個運動過程中a、b棒始終與金屬導軌接觸良好）求：
（1）在整個過程中a、b兩棒克服安培力分別做的功；
（2）a進入磁場的速度與b進入磁場的速度之比：
（3）分別求出M點和N點距虛線L₁的高度．

Answer 1

分析：（1）a、b在磁場中勻速運動，其安培力等于各自的重力，根據重力做功情況求出a、b兩棒克服安培力分別做的功．
（2）a、b進入磁場都做勻速直線運動，受重力和安培力平衡，根據平衡，結合閉合電路歐姆定律和切割產生感應電動勢大小公式，求出a、b做勻速直線運動的速度大小，從而求出兩速度之比．
（3）根據a、b棒進入磁場中的速度之比，通過位移公式求出M點和N點距虛線L₁的高度之比，抓住當b剛穿出磁場時a正好進入磁場，有v_a=v_b+gt，d=v_bt結合a、b的速度比，求出M點和N點距虛線L₁的高度．

解答：解：（1）因a、b在磁場中勻速運動，其安培力等于各自的重力，由功的公式得
W_a=m_agd=1.0 J                    
W_b=m_bgd=0.5J                     
（2）b在磁場中勻速運動時：速度為v_b，總電阻R₁=7.5Ω
b中的電流I_b=

BLvb

R1

     ①
  

B2L2vb

R1

=mbg      ②
同理，a棒在磁場中勻速運動時：速度為v_a，總電阻R₂=5Ω：

B2L2va

R2

=mag    ③
由以上各式得：

vb

va

=

3

4

 ④
（3）v²=2gh             ⑤

hb

ha

=

9

16

   ⑥
v_a=v_b+gt          ⑦
d=v_bt                    ⑧
由④⑤⑥⑦⑧得ha=

4

3

 m=1.33 m   
hb=

3

4

 m=0.75 m                                             
答：（1）在整個過程中a、b兩棒克服安培力分別做的功為1J、0.5J．
（2）a進入磁場的速度與b進入磁場的速度之比為4：3．
（3）M點和N點距虛線L₁的高度分別為1.33m、0.75m．

點評：解決本題的關鍵知道導體棒做勻速直線運動時，重力和安培力平衡，本題的難點在于通過a、b棒的速度關系以及a、b距離虛線L₁的高度比求出a、b距離虛線L₁的高度．