Question

如圖甲所示，三個(gè)物體A、B、C靜止放在光滑水平面上，物體A、B用一輕質(zhì)彈簧連接，并用細(xì)線拴連使彈簧處于壓縮狀態(tài)，此時(shí)彈簧長度L=0.1m；三個(gè)物體的質(zhì)量分別為m_A=0.1kg、m_B=0.2kg和m_C=0.1kg．現(xiàn)將細(xì)線燒斷，物體A、B在彈簧彈力作用下做往復(fù)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)過程中物體A不會(huì)碰到物體C）．若此過程中彈簧始終在彈性限度內(nèi)，并設(shè)以向右為正方向，從細(xì)線燒斷后開始計(jì)時(shí)，物體A的速度?時(shí)間圖象如圖乙所示．求：
（1）物體B運(yùn)動(dòng)速度的最大值；
（2）從細(xì)線燒斷到彈簧第一次伸長到L₁=0.4m時(shí)，物體B運(yùn)動(dòng)的位移大��；
（3）若在某時(shí)刻使物體C以v_C=4m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，它將與正在做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體A發(fā)生碰撞，并立即結(jié)合在一起，試求在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于物體A、B與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，燒斷細(xì)線后系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，當(dāng)A的速度最大時(shí)，B的速度也最大，由圖讀出A的最大速度，即可求得B運(yùn)動(dòng)速度的最大值；
（2）根據(jù)A、B系統(tǒng)的動(dòng)量守恒列式，結(jié)合在極短的時(shí)間△t內(nèi)位移等于速度與時(shí)間△t的乘積，得到A、B位移x_A、x_B關(guān)系，依題意：x_A+x_B=L₁-L，聯(lián)立即可求得物體B運(yùn)動(dòng)的位移大小；
（3）A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，可知三物體速度相同時(shí)的速度是一個(gè)定值，總動(dòng)能也是一個(gè)定值，此時(shí)彈性勢能最大．當(dāng)A與C同向相撞和反向相撞時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒列式求解．

解答：解：（1）對(duì)于物體A、B與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，當(dāng)燒斷細(xì)線后動(dòng)量守恒，設(shè)物體B運(yùn)動(dòng)的最大速度為v_B，有：
m_Av_A+m_Bv_B=0
v_B=-

mAvA

mB

=-

1

2

v_A，
由圖乙可知，當(dāng)t=

T

4

時(shí)，物體A的速度v_A達(dá)到最大，v_A=-4m/s
則 v_B=2m/s
即物體B運(yùn)動(dòng)的最大速度為2m/s，
（2）設(shè)A、B的位移大小分別為x_A、x_B，瞬時(shí)速度的大小分別為v′_A、v′_B
由于系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則在任何時(shí)刻有：m_Av′_A-m_Bv′_B=0
則在極短的時(shí)間△t內(nèi)有：m_Av′_A△t-m_Bv′_B△t=0
  m_Av′_A△t=m_Bv′_B△t
累加求和得：m_A∑v′_A△t=m_B∑v′_B△t
  m_Ax_A=m_Bx_B
  x_B=

mA

mB

，x_A=

1

2

x_A
依題意：x_A+x_B=L₁-L
解得：x_B=0.1m                                                 
（3）因水平方向系統(tǒng)不受外力，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒，因此，不論A、C兩物體何時(shí)何處相碰，三物體速度相同時(shí)的速度是一個(gè)定值，總動(dòng)能也是一個(gè)定值，且三個(gè)物體速度相同時(shí)具有最大彈性勢能．
設(shè)三個(gè)物體速度相同時(shí)的速度為v_共，
依據(jù)動(dòng)量守恒定律有：m_Cv_C=（m_A+m_B+m_C）v_共，
解得：v_共=1m/s
當(dāng)A在運(yùn)動(dòng)過程中速度為4m/s，且與C同向時(shí)，跟C相碰，A、C相碰后速度v₁=v_A=v_C，設(shè)此過程中具有的最大彈性勢能為E₁，
由能量守恒得：E₁=

1

2

（m_A+m_C）v₁²+

1

2

m_B

v

2 B

-

1

2

（m_A+m_B+m_C）

v

2 共

=1.8J
當(dāng)A在運(yùn)動(dòng)過程中速度為-4m/s時(shí)，跟C相碰，設(shè)A、C相碰后速度為v₂，由動(dòng)量守恒：
m_Cv_C-m_Av_A=（m_A+m_C）v₂，
解得：v₂=0
設(shè)此過程中具有的最大彈性勢能設(shè)為E₂
由能量守恒：E₂=

1

2

（m_A+m_C）v₂²+

1

2

m_Bv_B²-

1

2

（m_A+m_B+m_C）v_共²=0.2J
由上可得：彈簧具有的最大彈性勢能E_pm的可能值的范圍：0.2J≤E_pm＜1.8J．
答：（1）物體B運(yùn)動(dòng)速度的最大值為2m/s；
（2）從細(xì)線燒斷到彈簧第一次伸長到L₁=0.4m時(shí)，物體B運(yùn)動(dòng)的位移大小為0.1m；
（3）在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍為0.2J≤E_pm＜1.8J．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，把握隱含的臨界條件，正確應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．