Question

（20分）如圖13所示，一個(gè)物塊A（可看成質(zhì)點(diǎn)）放在足夠長的平板小車B的右端，A、B一起以v₀的水平初速度沿光滑水平面向左滑行。左邊有一固定的豎直墻壁，小車B與墻壁相碰，碰撞時(shí)間極短，且碰撞前、后無動(dòng)能損失。已知物塊A與小車B的水平上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g。

（1）若A、B的質(zhì)量均為m，求小車與墻壁碰撞后的運(yùn)動(dòng)過程中，物塊A所受摩擦力的沖量大小和方向；

（2）若A、B的質(zhì)量比為k，且k＜1，求物塊A在小車B上發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過程中物塊A對(duì)地的位移大小；

（3）若A、B的質(zhì)量比為k，且k=2，求小車第一次與墻壁碰撞后的運(yùn)動(dòng)過程所經(jīng)歷的總時(shí)間。

Answer 1

（20分）

解：（1）設(shè)小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達(dá)到的共同速度大小為v，設(shè)向右為正方向，則由動(dòng)量守恒定律得            mv₀-mv₀=2mv

解得                                v=0                                 （2分）

對(duì)物塊A，由動(dòng)量定理得摩擦力對(duì)物塊A的沖量   I=0-（-mv₀）=mv₀            （2分）

沖量方向水平向右。                                                      （1分）

（2）設(shè)A和B的質(zhì)量分別為km和m，小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達(dá)到的共同速度大小為v′，木塊A的位移大小為s。設(shè)向右為正方向，則由動(dòng)量守恒定律得：則

                               mv₀-kmv₀=(m+km)v′                         （2分）

解得                        v′=                                 （1分）

對(duì)木塊A由動(dòng)能定理                       （2分）

代入數(shù)據(jù)解得                                      （2分）

（3）當(dāng)k=2時(shí)，根據(jù)題意由于摩擦的存在，經(jīng)B與墻壁多次碰撞后最終A、B一起停在墻角。A與B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₀可等效為A一直做勻減速運(yùn)動(dòng)到速度等于0的時(shí)間，在A與B發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的整個(gè)過程，對(duì)A應(yīng)用動(dòng)量定理：      （2分）

解得時(shí)間                                                        （1分）

設(shè)第1次碰后A、B達(dá)到的共同速度為v₁，B碰墻后，A、B組成的系統(tǒng)，沒有外力作用，水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)水平向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律，得

mv₀－2mv₀=（2m+m）v₁

即                   （負(fù)號(hào)表示v₁的方向向左）

第1次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)的位移等于向右勻減速運(yùn)動(dòng)到速度大小為v₁這段運(yùn)動(dòng)的位移s₁

對(duì)小車B，由動(dòng)能定理得      -μ2mgs₁=mv₁²-mv₀²

解得                         s₁=  

第1次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間                      （2分）

設(shè)第2次碰后共速為v₂，由動(dòng)量守恒定律，得

mv₁－2mv₁=（2m+m）v₂

即                         

第2次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)的位移等于向右勻減速運(yùn)動(dòng)到速度大小為v₂這段運(yùn)動(dòng)的位移s₂

對(duì)小車B，由動(dòng)能定理得       -μ2mgs₂=m v₂²-mv₁²

解得                          s₂=  

第2次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間

同理，設(shè)第3次碰后共速為v₃，碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)的位移為s₃，則由動(dòng)量守恒定律，得

  

                            s₃=

第3次碰后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間 

由此類推，第n次碰墻后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

第1次碰墻后小車B向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間即B從第一次撞墻后每次向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為首項(xiàng)為t₁，末項(xiàng)為t_n，公比為的無窮等比數(shù)列。即B從第一次與墻壁碰撞后勻速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間

                                         （2分）

所以，從第一次B與墻壁碰撞后運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間             （1分）