Question

7．如圖所示，豎直直角坐標系，第一象限有水平向左的勻強電場E₁，第四象限有垂直于紙面向外的勻強磁場，且直線Y=-L下方處有豎直向下的勻強電場E₂．質(zhì)量為m的小球自A（0，$\frac{L}{2}$）處以v₀的初速度水平拋出，小球到達B（L，0）處是速度方向恰好與x軸垂直．在B處有一內(nèi)表面粗糙的圓筒，筒內(nèi)壁與小球間的動摩擦因數(shù)為μ，筒直徑略大于小球直徑，筒長為L，豎直放置．已知小球在離開筒以前就已經(jīng)勻速，且離開筒后做勻速圓周運動，恰在D（0，-2L）處水平進入第三象限．求：
（1）E₁：E₂是多少？
（2）在圓筒內(nèi)摩擦力做功是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，在電磁場中做勻速圓周運動，由類平拋運動規(guī)律與平衡條件求出電場強度之比；
（2）應(yīng)用類平拋運動規(guī)律、平衡條件、動能定理求出摩擦力的功．

解答 解：（1）在第一象限，水平方向小球做勻減速運動，
加速度大小為：a=$\frac{qE1}{m}$              
由運動學公式，有：L=$\frac{1}{2}$at²
豎直方向做自由落體運動，有：$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$gt²
由①②得，a=2g
由牛頓第二定律可知，qE₁=2mg   
小球在第四象限的電磁場中做勻速圓周運動，應(yīng)有電場力與重力平衡，即：
qE₂=mg        
故：E₁：E₂=2：1
（2）（11分）設(shè)小球進入圓筒時的速度為v₁，在第一象限，由運動規(guī)律有：
豎直方向：$\frac{L}{2}$=$\frac{v1}{2}$t    
水平方向：L=$\frac{v0}{2}$t  
解得：v₁=$\frac{v0}{2}$    
小球在圓筒中做加速度減小的加速運動，當重力與摩擦力相等時，開始做勻速運動，設(shè)此速度為v₂，由平衡條件，有：
mg=μBqv₂
解得：v₂=$\frac{mg}{μBq}$ 
在第四象限的電磁場中做勻速圓周運動時，
洛倫茲力提供向心力，有：Bqv₂=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$
解得，v₂=$\sqrt{\frac{gL}{μ}}$
從小球進入圓筒到離開圓筒，由動能定理，有：
mgL+W_f=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$
解之得：W_f=-[mgL（1-$\frac{1}{2μ}$）+$\frac{1}{8}$mv${\;}_{0}^{2}$]
答：：（1）E₁：E₂是2：1；
（2）在圓筒內(nèi)摩擦力做功是：-[mgL（1-$\frac{1}{2μ}$）+$\frac{1}{8}$mv${\;}_{0}^{2}$]．

點評 本題考查了粒子在電磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、應(yīng)用類平拋運動規(guī)律、平衡條件、牛頓第二定律、動能定理即可正確解題．