Question

如圖，豎直平面內有一個

3

4

圓弧形光滑軌道，圓弧半徑為R，AD為水平面，A端與圓心O等高，B點在圓心O的正上方，一個質量為m的小球（可看作質點），自A點以豎直向下的大小為2

gR

的初速度進入圓弧軌道，經過圓弧上的B點飛出后落到C點．已知當地重力加速度為g，忽略空氣阻力．求
（1）小球通過B點時的速度大�。�
（2）小球通過B點時對軌道的壓力大��；
（3）AC兩點間的距離．

Answer 1

分析：（1）小球離開B點做平拋運動，根據機械能守恒定律求解小球通過B點時的速度大小；
（2）小球到達B點時，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球所受的軌道的彈力，再根據牛頓第三定律得到小球通過B點時對軌道的壓力大�。�
（3）小球離開B點做平拋運動，高度決定時間，根據時間和B點的速度求出水平距離，即可求得AC間的距離．

解答：解：（1）A點到B點，由機械能守恒定律得：
   -mgR=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

由以上解得：vB=

2gR

（2）B點由牛頓第二定律得：
  F+mg=

mvB2

R

解得：F=mg
由牛頓第三定律，小球對軌道的壓力大小為mg．
（3）B到C平拋運動 R=

1

2

gt2
又 x=v_Bt                   
則 x_AC=2R-R=R            
則AC兩點間的距離為R．
答：
（1）小球通過B點時的速度大小為

2gR

；
（2）小球通過B點時對軌道的壓力大小為mg；
（3）AC兩點間的距離為R．

點評：解決本題的關鍵要分析小球圓周運動的向心力來源、掌握平拋運動、牛頓運動定律進行求解．