Question

13．如圖所示，一個折射率為$\frac{4}{3}$的三棱鏡的截面為等腰直角△ABC，∠A為直角．此截面所在平面內的一束光線沿與AB邊成θ角（θ＜90°）的方向入射到AB邊的中點P處．若要光線進入三棱鏡后能射到AC邊上且能在AC面上發(fā)生全反射，則cosθ應滿足什么條件？

Answer 1

分析 由折射定律得到光線在AB上的折射角，全反射可得出臨界角與折射率的關系．根據題設的兩個條件：一是光線能射到AC面上，得到入射角正弦的范圍；二是光線在AC面上發(fā)生全反射，則光線在AC面上的入射角β≥C，由幾何關系得到AB面上的折射角與入射角β的關系，聯立可求解

解答 解：光由空氣射向三棱鏡，在AB邊上發(fā)生折射，折射角為α，由折射定律得：$\frac{sin（90°-θ）}{sinα}$=n
當光由三棱鏡射向空氣，臨界角為C時，發(fā)生全反射，所以 sinC=$\frac{1}{n}$
①要使光線能入射到AC邊上，由幾何關系
  sinα≥$\frac{1}{\sqrt{5}}$
聯立解得：cosθ≥$\frac{4\sqrt{5}}{15}$；
②要使光線能在AC面上發(fā)生全反射，應有β≥C
由幾何關系 α+β=90°
聯立解得：cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$
綜上可得：$\frac{4\sqrt{5}}{15}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$
答：若要光線進入三棱鏡后能射到AC邊上且能在AC面上發(fā)生全反射，則cosθ應滿足$\frac{4\sqrt{5}}{15}$≤cosθ≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

點評 解答本題的關鍵在于利用幾何關系找出入射角、折射角和它們之間的關系，由折射定律可列出方程求解．