Question

如圖所示，質(zhì)量為M、傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長(zhǎng)）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，斜面頂端與勁度系數(shù)為k、自然長(zhǎng)度為l的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊。壓縮彈簧使其長(zhǎng)度為時(shí)將物塊由靜止開(kāi)始釋放，且物塊在以后的運(yùn)動(dòng)中，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。重力加速度為。

（1）求物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度；
（2）選物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)軸，用x表示物塊相對(duì)于平衡位置的位移，證明物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
（3）求彈簧的最大伸長(zhǎng)量；
（4）為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)滿足什么條件（假設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力）？

Answer 1

（1） （2）見(jiàn)解析（3） （4）

（1）設(shè)物塊處于平衡位置時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為Δl，則
，解得
所以此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為。
（2）當(dāng)物塊相對(duì)平衡位置的位移為x時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為x+Δl，物塊所受合力（即回復(fù)力）
F_合=，聯(lián)立以上各式，F_合=-kx，由此可知該物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
（3）該物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，彈簧的最大伸長(zhǎng)量
為
（4）設(shè)物塊位移x為正，對(duì)斜面受力分析如圖所示。

由于斜面受力平衡，則有
在水平方向上有：f+F_N1sinα-Fcosα=0；在豎直方向上有：F_N2－Mg-Fsinα-F_N1cosα=0
又F=，F_N1=mgcosα
聯(lián)立可得f=kxcosα，F_N2=Mg+mg+kxsinα
為使斜面始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，結(jié)合牛頓第二定律，應(yīng)滿足，所以
當(dāng)x=-A時(shí)，上式右端達(dá)到最大值，于是有
μ≥。
【另解】對(duì)由斜面、物塊、彈簧組成的系統(tǒng)受力分析，受重力（M＋m）g、地面的支持力N和水平方向的靜摩擦力f作用，如圖所示。

建立圖示直角坐標(biāo)系，根據(jù)牛頓第二定律可知：
在水平方向上有：f=M×0＋macosα；在豎直方向上有：N－（M＋m）g=M×0＋masinα
其中，靜摩擦力f≤f_m＝μN，a==-(-A≤x≤A)，
聯(lián)立以上各式，解得：μ≥。