Question

如圖所示的直角坐標系xoy中，在x＜0，y＞0的區(qū)域有一對平行金屬板M和N，其中N板位于x軸上，M、N板加有如圖所示電壓，平行金屬板右側(cè)存在沿y軸負向與平行金屬板等寬度的勻強電場，場強大小為E，在x＞0 y＞0的區(qū)域存在垂直紙面的矩形有界磁場，其下邊界和左邊界分別與Ox、Oy軸重合．t=0時刻一質(zhì)量為m，電量為q的帶電微粒沿著平金屬板的軸線O₁O  2以初速度v₀向右開始運動，恰從M板右邊緣的P點沿x軸正向進入平行金屬板右側(cè)電場，經(jīng)過一段時間后以2v₀的速度經(jīng)Q點進入磁場，Q點為O₁O₂與y軸的交點，再經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)帶電微粒恰好從坐標原點O沿x軸負向返回電場，不計帶電微粒的重力．求：
（1）平行金屬板M、N間的距離d及右側(cè)電場的寬度L；
（2）平行金屬板上所加電壓U₀滿足的條件；
（3）矩形磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）研究帶電粒子從P運動到Q的地過程：帶電粒子做類平拋運動，初速度為v₀，到達Q點的速度為2v₀，即可求得Q點的速度與水平方向的夾角，得到豎直方向的分速度v_y，

v

2 y

=2?(

qE

m

)?

d

2

，L=v₀t，求得d和L．
（2）由題意，畫出帶電粒子在平行金屬板間的運動軌跡，粒子在電場中運動的側(cè)向總位移應(yīng)滿足：

d

2

=

1

2

?

qU0

md

?(

T

2

)2?2n，其中n=1，2，3，…，L=v₀?nT，即可求出電壓U₀滿足的條件；
（3）畫出帶電粒子在磁場中的運動軌跡，由幾何知識求出最小矩形磁場的長和寬，即可求出磁場的最小面積．

解答：解：（1）因帶電微粒在P點速度沿x軸正向，則帶電微粒在Q點的水平速度為v₀，設(shè)速度方向與水平方向的夾角為θ，有：
cosθ=

v0

2v0

=

1

2

，得θ=60°
在Q點的豎直方向分速度為v_y=2v₀sinθ=

3

v0
從P點到Q點，帶電微粒做類平拋運動，則有
 

v

2 y

=2?(

qE

m

)?

d

2

∴d=

3m v 2 0

qE

L=v₀t=v₀?

vy

a

=v₀?

vy

qE m

=

3 m v 2 0

qE

（2）由題，畫出粒子在平行金屬板間的運動軌跡，粒子在電場中運動的側(cè)向總位移滿足：
  

d

2

=

1

2

?

qU0

md

?(

T

2

)2?2n，其中n=1，2，3，…
又L=v₀?nT
由以上兩式解得：U₀=

6nm v 2 0

q

（n=1，2，3，…）
（3）如圖，設(shè)最大的矩形磁場的高為L₁，寬為L₂，畫出帶電粒子的運動軌跡，如圖，則由幾何知識可知：
   （

d

2

-r）?cosθ=r，
∴r=

d

6

故L₁=r（1+cosθ）=

3

2

r，L₂=r
所以矩形磁場的最小面積為
   S=L₁?L₂=

3

2

r2=

d2

24

=

3m2 v 4 0

8q2E2

答：
（1）平行金屬板M、N間的距離d為

3m v 2 0

qE

，右側(cè)電場的寬度L是

3 m v 2 0

qE

；
（2）平行金屬板上所加電壓U₀滿足的條件是：U₀=

6nm v 2 0

q

（n=1，2，3，…）；
（3）矩形磁場區(qū)域的最小面積是

3m2 v 4 0

8q2E2

．

點評：本題帶電粒子在復合場中運動，電場中做平拋運動，關(guān)鍵要把握電場的周期性，磁場中畫出粒子運動的軌跡，由幾何知識求磁場的長和寬是關(guān)鍵．