Question

（2012?閔行區(qū)二模）如圖1所示，A、B、C、D為固定于豎直平面內(nèi)的閉合絕緣軌道，AB段、CD段均為半徑R=1.6m的半圓，BC、AD段水平，AD=BC=8m．B、C之間的區(qū)域存在水平向右的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=5×10⁵V/m．質(zhì)量為m=4×10^-3kg、帶電量q=+1×10^-8C的小環(huán)套在軌道上．小環(huán)與軌道AD段的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

1

8

，與軌道其余部分的摩擦忽略不計(jì)．現(xiàn)使小環(huán)在D點(diǎn)獲得沿軌道向左的初速度v₀=4m/s，且在沿軌道AD段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終受到方向豎直向上、大小隨速度變化的力F（變化關(guān)系如圖2）作用，小環(huán)第一次到A點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道剛好無(wú)壓力．不計(jì)小環(huán)大小，g取10m/s²．求：
（1）小環(huán)運(yùn)動(dòng)第一次到A時(shí)的速度多大？
（2）小環(huán)第一次回到D點(diǎn)時(shí)速度多大？
（3）小環(huán)經(jīng)過(guò)若干次循環(huán)運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度應(yīng)不小于多少？

Answer 1

分析：（1）小環(huán)第一次到A點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道剛好無(wú)壓力．知重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出A點(diǎn)的速度．
（2）對(duì)A到D運(yùn)用動(dòng)能定理，求出小環(huán)第一次回到D點(diǎn)時(shí)速度．
（3）穩(wěn)定循環(huán)時(shí)，每一個(gè)周期中損耗的能量應(yīng)等于補(bǔ)充的能量，結(jié)合圖象，根據(jù)動(dòng)能定理求出D點(diǎn)速度的最小值．

解答：解：（1）由題意及向心力公式得：mg=m

vA2

R

                    
vA=

gR

=

10×1.6

m/s=4m/s                  
（2）小物塊從A點(diǎn)到第一次回到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

1

2

mvD2-

1

2

mvA2=qEL                                 
vD=

vA2+ 2qEL m

=6m/s．
（3）v_A=4m/s=v₀，小環(huán)第一次從D到A做勻速運(yùn)動(dòng)
F=kv=mg
k=

mg

v

=

4×10-3×10

4

Ns/m=0.01Ns/m．
所以F_m=kv_m=2mg=0.08N，
則可知環(huán)與桿的摩擦力f≤μ|F_m-mg|=μmg=qE，
穩(wěn)定循環(huán)時(shí)，每一個(gè)周期中損耗的能量應(yīng)等于補(bǔ)充的能量          
W_損=W_最大≤f_ms=μ（F_m-mg）s=0.04J   
而W補(bǔ)=W電=qEs=1×10-8×5×105×8m=0.04J．
所以穩(wěn)定循環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)在AD段運(yùn)動(dòng)時(shí)速度一定要大于等于8m/s
即到達(dá)A點(diǎn)的速度不小于8m/s                                 
穩(wěn)定循環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)從A到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

1

2

mvD2-

1

2

mvA2=qEL                                  
vD=

vA2+ 2qEL m

=2

21

m/s  
小環(huán)經(jīng)過(guò)若干次循環(huán)運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度應(yīng)不小于2

21

m/s
答：（1）小環(huán)運(yùn)動(dòng)第一次到A時(shí)的速度為4m/s．
（2）小環(huán)第一次回到D點(diǎn)時(shí)速度為6m/s．
（3）小環(huán)經(jīng)過(guò)若干次循環(huán)運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度應(yīng)不小于2

21

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、牛頓第二定律等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力要求較高，涉及了不同的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，關(guān)鍵是理清小環(huán)的運(yùn)動(dòng)，選擇合適的研究過(guò)程進(jìn)行分析求解．