Question

【題目】如圖甲所示，彎曲部分AB和CD是兩個(gè)半徑都為0.3 m的圓弧軌道，中間的BC段是豎直的薄壁細(xì)圓管(細(xì)圓管內(nèi)徑略大于小球的直徑)軌道，分別與上下圓弧軌道相切連接，BC段的長(zhǎng)度L為0.2 m．下圓弧軌道與水平軌道相切，其中D、A分別是上下圓弧軌道的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，整個(gè)軌道固定在豎直平面內(nèi)．有一質(zhì)量為0.3 kg的小球以一定的速度沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)并從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧，不計(jì)小球運(yùn)動(dòng)中的一切阻力，求：

(1)如果小球從D點(diǎn)以5 m/s的速度水平飛出，求落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離；

(2)如果小球從D點(diǎn)以5 m/s的速度水平飛出，求小球過(guò)圓弧A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；

(3)如果在D點(diǎn)右側(cè)平滑連接一半徑R＝0.4 m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球不脫離軌道運(yùn)動(dòng)，求小球在水平軌道上向右運(yùn)動(dòng)的速度大小范圍(計(jì)算結(jié)果可以用根式表示)．

Answer 1

【答案】(1)2 m　(2)44 N　(3) 或

【解析】試題分析：（1）小球從D點(diǎn)以5m/s的速度水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：h=gt2

據(jù)題 h=2R+L=2×0．3m+0．2m=0．8m

代入數(shù)據(jù)解得 t=0．4s

所以落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離 x=vDt=5×0．4m=2m；

（2）由A到D的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律可得：mgh+mvD2=mvA2

在A點(diǎn)，由牛頓第二定律可得： ；

聯(lián)立解得 N=94N

由牛頓第三定律知，小球過(guò)圓弧A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力 N′=N=94N

（3）計(jì)論一：

小球進(jìn)入軌道最高運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，之后原路返回，由機(jī)械能守恒定律，有：

mg（R+L）=mv12

得 v1=m/s

討論二：小球進(jìn)入軌道后恰好能通過(guò)圓弧最高點(diǎn)D，之后沿DEF運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，在D點(diǎn)，有

從A到D由機(jī)械能守恒定律可得：

有：mgh+mv2=mv22

得

所以要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍為：v1≤m/s或v2≥m/s