Question

如圖7-21所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M=4.0 kg的平板車，車的上表面右側(cè)是一段長L=1.0 m的水平軌道，水平軌道左側(cè)連一半徑R=0.25 m的1/4光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在O′點(diǎn)相切.車右端固定一個(gè)尺寸可以忽略、處于鎖定狀態(tài)的壓縮彈簧，一質(zhì)量m=1.0 kg的小物塊緊靠彈簧，小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)將彈簧解除鎖定，小物塊被彈出，恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A，g取10 m/s².求：

圖7-21

（1）解除鎖定前彈簧的彈性勢(shì)能；

（2）小物塊第二次經(jīng)過O′點(diǎn)時(shí)的速度大��；

（3）最終小物塊與車相對(duì)靜止時(shí)距O′點(diǎn)的距離.

Answer 1

思路解析：本題主要考查動(dòng)量和能量的綜合計(jì)算.在整個(gè)過程中,水平方向動(dòng)量守恒,小物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí),與水平軌道的速度相等,根據(jù)動(dòng)量守恒可以判斷共同速度為零.根據(jù)系統(tǒng)能量守恒可以計(jì)算彈簧的彈性勢(shì)能.小物塊返回時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可以求出到達(dá)O′點(diǎn)時(shí)的速度大小;最終小物塊與車相對(duì)靜止,機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,而內(nèi)能等于摩擦力所做的功,即可求出相對(duì)路程和位置.

解：（1）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，故小物塊恰能到達(dá)圓弧最高點(diǎn)A時(shí)，二者的共同速度v_共=0                                                          ①

    設(shè)彈簧解除鎖定前的彈性勢(shì)能為E_p，上述過程中系統(tǒng)能量守恒，則有

    E_p=mgR+μmgL                                                           ②

    代入數(shù)據(jù)解得E_p=7.5 J.                                                     ③

（2）設(shè)小物塊第二次經(jīng)過O′時(shí)的速度大小為v_m，此時(shí)平板車的速度大小為v_m，研究小物塊在圓弧面上下滑過程，由系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和系統(tǒng)機(jī)械能守恒有

    0=mv_m-Mv_m                                                               ④

    mgR=mv_m²+Mv_m²                                                      ⑤

    由④⑤式代入數(shù)據(jù)解得?v_m=2.0 m/s.                                         ⑥

（3）最終平板車和小物塊相對(duì)靜止時(shí)，二者的共同速度為0.設(shè)小物塊相對(duì)平板車滑動(dòng)的總路程為s，對(duì)系統(tǒng)由能量守恒有

    E_p=μmgs                                                                ⑦

    代入數(shù)據(jù)解得s=1.5 m                                                      ⑧

    則距O′點(diǎn)的距離x=s-L=0.5 m.                                             ⑨

答案：（1）7.5 J  （2）2.0 m/s  （3）0.5 m