Question

如圖（a）所示，兩塊平行金屬板，相距為d，加上如圖（b）所示的方波形電壓，電壓最大值為U_m，周期為T．現(xiàn)有一離子束，其中每個粒子的帶電荷量為Q，質(zhì)量為m，從與兩板等距處與板平行的方向連續(xù)射入[如圖（a）]．設粒子通過平行板所用的時間為T（和電壓變化的周期相同），且已知所有的粒子最后都可以通過兩板間的空間而打在右端的靶上．試求粒子最后打在靶上的位置范圍（即與靶心O′的最大距離和最小距離）．不計重力影響．

Answer 1

分析：金屬板間沒有電壓時，粒子做勻速直線運動；有電壓時，粒子做類平拋運動，將粒子的運動沿著平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做勻速直線運動，在垂直于初速度方向，粒子在電場力的作用下做變速直線運動，粒子在t=0時刻進入時，與靶心O′有最大的距離；在t=

T

2

時刻進入時，與靶心O′有最小的距離；根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結合列式求解即可．

解答：解：（1）t=0時刻射入的粒子打在靶上的位置與靶心O′的距離最大
設此距離為Y_max．
此粒子在 t=0至 t1=

T

2

時間內(nèi)，在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做勻加速直線運動，豎直方向的位移為
   Y1=

1

2

at12=

1

2

×

QUm

md

×(

T

2

)2=

QUmT2

8md

此粒子在t1=

T

2

至t₂=T時間內(nèi)，做勻速直線運動，豎直方向分速度為vy=a×t1=

QU m

md

×

T

2

豎直方向的位移為Y2=vy×

T

2

=

QU m

md

×

T

2

×

T

2

=

QUmT2

4md

∴Ymax=Y1+Y2=

QUmT2

8md

+

QUmT2

4md

=

3QUmT2

8md

（2）t=

T

2

時刻射入的粒子打在靶上的位置與靶心O′的距離最小
設此距離為Y_min．
此粒子在t=

T

2

至 t=T時間內(nèi)，做勻速直線運動；在t=T至 t=

3T

2

時間內(nèi)，粒子在水平方向上仍做勻速直線運動，在豎直方向上做勻加速直線運動，豎直方向的位移為Ymin=Y1=

QUmT2

8md

∴粒子打在靶上的范圍在距靶心O′為

QUmT2

8md

至

3QUmT2

8md

之間． 
答：粒子最后打在靶上的位置范圍在距靶心O′為

QUmT2

8md

至

3QUmT2

8md

之間．

點評：本題關鍵將粒子的運動沿著平行于初速度方向和垂直于初速度方向進行正交分解，然后根據(jù)運動學公式列式求解．