Question

在豎直面內(nèi)有一光滑水平直軌道和一光滑半圓形軌道，二者在半圓的-個(gè)端點(diǎn)B相切，如圖所示，半圓形軌道的另一端點(diǎn)為C，半徑為R在直軌道上距離B為S的A點(diǎn)，有一可看作質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小球處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用水平恒力將小球推至B處后撤去恒力，小球沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落到水平面上出發(fā)點(diǎn)A處．
（1）求小球在C處的速度大小V_C和推力對(duì)小球所做的功W_F
（2）當(dāng)S和R滿足什么關(guān)系時(shí)，水平恒力做功最小并求出功的最小值．

Answer 1

分析：（1）分析小球運(yùn)動(dòng)的過程，可發(fā)現(xiàn)小球由A到B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，B到C做圓周運(yùn)動(dòng)，從C點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)；由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得C點(diǎn)的速度，對(duì)小球從A到C過程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求得推力所做的功；
（2）水平恒力做功越小，小球到達(dá)C點(diǎn)的速度越小，當(dāng)W_F有最小值時(shí)，小球應(yīng)恰能到達(dá)C處，此時(shí)由重力提供小球的向心力，即可由牛頓第二求出C點(diǎn)的速度，由上題得到S與R的關(guān)系，并求出最小的功．

解答：解：（1）設(shè)小球從C到A的飛行時(shí)間為t，在C處的速度為V_C，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得
  在水平方向上：s=v_Ct
  在豎直方向上：y=2R=

1

2

gt2
聯(lián)立解得：vC2=

gs2

4R

，
則小球在C處的速度大小v_C=

s

2

g  R

對(duì)小球從A到C過程，由動(dòng)能定理得：WF-mg?2R=

1

2

mvC2-0
解得：WF=mg?2R+

1

2

mvC2=mg(2R+

S2

8R

)
（2）當(dāng)W_F有最小值時(shí)，小球應(yīng)恰能到達(dá)C處，此時(shí)由重力提供小球的向心力，則 
在C點(diǎn)：mg=m

vC2

R

又vC2=

gs2

4R

仍成立
解得：S=2R
最小功為W_min=mg（2R+

S2

8R

）=mg[2R+

(2R)2

8R

]=2.5mgR     
答：
（1）小球在C處的速度大小V_C是

g R

，推力對(duì)小球所做的功W_F為mg(2R+

S2

8R

)．
（2）當(dāng)S和R滿足S=2R時(shí)，水平恒力做功最小值為2.5mgR．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理、向心力公式的應(yīng)用，關(guān)鍵要認(rèn)真分析物體的運(yùn)動(dòng)過程，將其分解為我們常見的物理學(xué)模型，如平拋、自由落體、圓周運(yùn)動(dòng)等，即可利用常見公式進(jìn)行解答．