Question

在豎直面內(nèi)有一光滑水平直軌道和一光滑半圓形軌道，二者在半圓的一個(gè)端點(diǎn)B相切，如圖所示，半圓形軌道的另一端點(diǎn)為C，半徑為R．在直軌道上距離B為x的A點(diǎn)，有一可看作質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小球處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用水平恒力將小球推到B處后撤去恒力，小球沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又落到水平面上．求：
（1）若小球正好落到出發(fā)點(diǎn)A處，在這種情況下：
①用x和給出的已知量來(lái)表達(dá)推力對(duì)小球所做的功；
②x取何值時(shí)，水平恒力做功最小？最小值為多少？
③x取何值時(shí)，所用水平恒力最��？最小值為多少？
（2）在任意情況下，x取任意值，求小球在B處和C處對(duì)軌道的壓力大小之差．

Answer 1

分析：（1）分析小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，可發(fā)現(xiàn)小球由A到B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，B到C做曲線運(yùn)動(dòng)，從C點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)；由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得C點(diǎn)的速度，由運(yùn)動(dòng)定理可求得推力所做的功；當(dāng)推力做功最小時(shí)，小球應(yīng)能恰好通過(guò)C點(diǎn)，此時(shí)重力充當(dāng)向心力，由向心力公式可求得最小速度，即可解得最小位移，求出最小功；
（2）由向心力公式分別求得BC處的壓力表達(dá)式，由機(jī)械能守恒可得出速度關(guān)系，即可求得壓力之差．

解答：解：（1）小球正好落到A點(diǎn)，小球由C到A做平拋運(yùn)動(dòng)，
①水平方向有：X=V_Ct
豎直方向有：y=2R=

1

2

gt²
聯(lián)立解得：V_C²=

gX2

4R

；
對(duì)小球從A到C，由動(dòng)能定理得：
W_F-mg2R=

1

2

mV_C²
解得：W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
推力對(duì)小球做的功為：W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
②當(dāng) W_F有最小值時(shí)，小球應(yīng)恰能到達(dá)C處（設(shè)此時(shí)小球的速度為V₀ ），此時(shí)小球在C處只受重力作用，由牛頓第二定律得：
mg=m

v02

R

又因?yàn)樾∏蛉阅苈涞紸處，所以V_C²=

gX2

4R

仍成立，即：V₀²=V_C²；
即：gR=

gX2

4R

，
解得：X=2R；
代入第一問(wèn)求得：W_F=2mgR+m

gX2

8R

=2.5mgR；
推力做的最小功為2.5mgR；
③根據(jù)題意可知，當(dāng)2mgR=m

gX2

8R

時(shí)，恒力F最小，解得：x=4R，
即：W_F=Fx=2mgR+2mgR
解得：F=mg
（2）由牛頓第二定律可知，小球在B處時(shí)有：F_B-mg=m

vB2

R

小球在C處時(shí)有：F_C+mg=m

vC2

R

；
由B到C機(jī)械能守恒，則有：

1

2

mV_B²-

1

2

mV_C²=mg2R
解得：F_B-F_C=6mg；
小球在B處與C處壓力之差為6mg，和X的取值無(wú)關(guān)．
答：（1）①推力對(duì)小球所做的功的表達(dá)式為W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
  ②．當(dāng)X=2R，推力做的最小功為2.5mgR；
③．當(dāng)X=4R時(shí)恒力最小為mg；
（2）小球在B處和C處對(duì)軌道的壓力大小之差為6mg

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、向心力公式及牛頓第二定律的應(yīng)用，解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)沉著冷靜，認(rèn)真分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，將其分解為我們常見(jiàn)的物理學(xué)模型，如平拋、自由落體、圓周運(yùn)動(dòng)等，即可利用常見(jiàn)公式進(jìn)行解答．