Question

12．如圖所示的水上游樂設(shè)施中，AB為粗糙水平導(dǎo)軌，人可以控制電動懸掛器的開關(guān)做勻加速運(yùn)動、勻減速運(yùn)動或勻速運(yùn)動，水面上Q處有一圓形木板，木板到平臺的水平距離L=8m，平臺與水面的高度差H=5m，質(zhì)量m=50kg的人可視為質(zhì)點，從平臺處抓住懸掛器，由靜止開始做勻加速運(yùn)動，在加速到某一速度時松手做平拋運(yùn)動，共歷時t=3s落到木板上，取g=10m/s²，不計空氣阻力
（1）求電動懸掛器加速時加速度的大��；
（2）求人落到木板上時的速度；
（3）現(xiàn)升高AB軌道，人通過l=3.2m輕繩與懸掛器相連，以某一速度向右勻速運(yùn)動，輕繩所能承受的最大拉力F_m=2000N．在運(yùn)動過程中，懸掛器突然被卡住，要使輕繩不被拉斷且人碰不到AB軌道，求人勻速運(yùn)動的最大速度．

Answer 1

分析 （1）人做平拋運(yùn)動的過程，根據(jù)下落的高度求出時間．人做勻加速運(yùn)動的位移和平拋過程的水平位移之和等于L，由運(yùn)動學(xué)規(guī)律和位移關(guān)系列式求解．
（2）人做平拋運(yùn)動時，由高度求出人落到木板上的豎直分速度，再與水平速度合成求人落到木板上時的速度．
（3）懸掛器被卡住的瞬間，繩子承受的拉力最大時，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求得速度．再由機(jī)械能守恒定律求人勻速運(yùn)動的最大速度．

解答 解：（1）設(shè)人做平拋運(yùn)動時水平速度為v₀，則加速度過程的平均速度為 $\frac{v_0}{2}$
人做平拋運(yùn)動時，豎直方向有 $H=\frac{1}{2}gt_1^2$，
解得：t₁=1s
由題意可得人做加速直線運(yùn)動的時間為 t₂=2s，
加速過程的水平位移 $x'=\frac{v_0}{2}{t_2}$，則
  x'+v₀t₁=L，解得 v₀=4m/s
電動懸掛器加速時加速度 $a=\frac{△v}{△t}=\frac{v_0}{t_2}=2m/{s^2}$
（2）人落到板上的豎直速度為v_y，有 ${v}_{y}^{2}$=2gH，解得 v_y=10m/s
速度與水平方向的夾角θ，則 $tanθ=\frac{v_y}{v_0}=2.5$，θ=arctan2.5
速度為 $v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=2\sqrt{29}m/s$
（3）懸掛器被卡住的瞬間，繩子承受的拉力最大，由牛頓第二定律得：
 ${F_m}-mg=m\frac{v_1^2}{l}$，
解得：${v_1}=4\sqrt{6}m/s$
人做圓周運(yùn)動擺起的高度不超過半徑，故有：$mgl=\frac{1}{2}mv_2^2$
解得v₂=8m/s，故最大速度為8m/s
答：（1）電動懸掛器加速時加速度的大小是2m/s²；
（2）人落到木板上時的速度大小為2$\sqrt{29}$m/s，方向與水平方向的夾角為arctan2.5．
（3）人勻速運(yùn)動的最大速度是8m/s．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清人的運(yùn)動過程，抓住兩個過程的水平位移之和等于L，結(jié)合平拋運(yùn)動的分位移公式、運(yùn)動學(xué)公式靈活求解．