Question

11．如圖所示，質(zhì)量為m的小物塊從一半徑為R=$\frac{1}{4}$L的四分之一光滑圓弧軌道頂點A下滑，滑到圓弧最低點B后，滑上長為L的水平桌面，水平桌面上沿運動方向粘貼了一段長度未知的粗糙紙面，桌面其它部分光滑，小物塊與粗糙紙面的動摩擦系數(shù)為μ=0.25．小物體滑出后做平拋運動，桌面離地高度h以及水平飛行距離s均為$\frac{L}{2}$（重力加速度為g）求：

（1）在圓弧最低點B物塊對軌道的壓力；
（2）未知粗糙紙面的長度x為多少？若粗糙紙面放在BC的中間位置則小物塊從進入桌面到落地經(jīng)歷總時間是多少？
（3）粗糙紙面放在何處，滑塊從B端滑過桌面用時最短，該時間為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出物塊到達最低點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對軌道的壓力大�。�
（2）根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出物塊離開水平面的速度，結(jié)合動能定理求出未知粗糙紙面的長度，根據(jù)運動學公式分別求出滑塊在粗糙紙面左端和右端的時間，結(jié)合在粗糙紙面上的運動時間和平拋運動的時間求出總時間．
（3）粗糙紙面右端與水平面邊緣對齊時，滑塊從B端滑過桌面用時最短，根據(jù)運動學公式求出最短的時間．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理得，$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，解得${v}_{B}=\sqrt{2gR}$，
在B點，根據(jù)牛頓第二定律得，N-mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，解得N=3mg．
則物塊對軌道的壓力為3mg．
（2）根據(jù)$h=\frac{L}{2}=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$得，平拋運動的時間t′=$\sqrt{\frac{L}{g}}$，
則平拋運動的初速度${v}_{C}=\frac{\frac{L}{2}}{t}$=$\frac{1}{2}\sqrt{gL}$，
根據(jù)動能定理得，$-μmgx=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得x=$\frac{1}{2}L$．
根據(jù)勻變速直線運動的平均速度推論知，在粗糙紙面上有：$\frac{L}{2}=\frac{{v}_{B}+{v}_{C}}{2}{t}_{2}$，解得t₂=$2（\sqrt{2}-1）\sqrt{\frac{L}{g}}$，
在水平面上勻速運動的時間$t=\frac{\frac{L}{4}}{{v}_{B}}+\frac{\frac{L}{4}}{{v}_{C}}$=$（\frac{2+\sqrt{2}}{4}）\sqrt{\frac{L}{g}}$，
則小物塊從進入桌面到落地經(jīng)歷總時間t_總=t+t₂+t′=$\frac{9\sqrt{2}-2}{4}\sqrt{\frac{L}{g}}$．
（3）粗糙紙面右端與水平面邊緣對齊時，滑塊從B端滑過桌面用時最短，
最短時間${t}_{min}=\frac{\frac{L}{2}}{{v}_{B}}+{t}_{2}$=$\frac{5\sqrt{2}-4}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$．
答：（1）在圓弧最低點B物塊對軌道的壓力為3mg；
（2）未知粗糙紙面的長度x為$\frac{1}{2}L$，小物塊從進入桌面到落地經(jīng)歷總時間是$\frac{9\sqrt{2}-2}{4}\sqrt{\frac{L}{g}}$；
（3）粗糙紙面右端與水平面邊緣對齊時，滑塊從B端滑過桌面用時最短，最短時間為$\frac{5\sqrt{2}-4}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、運動學公式的綜合運用，關(guān)鍵理清滑塊在整個過程中的運動規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進行求解，本題涉及到圓周運動和平拋運動，知道圓周運動向心力的來源和平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．