Question

內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）．在細(xì)圓管中有兩個(gè)直徑略小于細(xì)圓管管徑的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）A和B，質(zhì)量分別為m₁和m₂，它們沿環(huán)形圓管（在豎直平面內(nèi)）順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都是v₀；設(shè)A球通過最低點(diǎn)時(shí)B球恰好通過最高點(diǎn)，此時(shí)兩球作用于環(huán)形圓管的合力為零，那么m₁、m₂、R和v₀應(yīng)滿足的關(guān)系式是______．

Answer 1

（1）A球通過最低點(diǎn)時(shí)，作用于環(huán)形圓管的壓力豎直向下，根據(jù)牛頓第三定律，A球受到豎直向上的支持力N₁，由牛頓第二定律，有：
N1-m1g=m1

v02

R

…①
由題意知，A球通過最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好通過最高點(diǎn)，而且該時(shí)刻A、B兩球作用于圓管的合力為零；可見B球作用于圓管的壓力肯定豎直向上，根據(jù)牛頓第三定律，圓管對B球的反作用力N₂豎直向下；假設(shè)B球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，則B球在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程為：
N2+m2g=m2

v2

R

…②
由題意有：N₁=N₂…③
得：m1g+m2g=

m2v2

R

-

m1v02

R

…④
對B球運(yùn)用機(jī)械能守恒定律有：

1

2

m2v02=

1

2

m2v2+2m2gR…⑤
解得：v2=v02-4gR…⑥
⑥式代入④式可得：(m1+5m2)g+(m1-m2)

v02

R

=0．
故答案為：(m1+5m2)g+(m1-m2)

v02

R

=0．