Question

一名宇航員在登陸某星球后為了測(cè)量此星球的質(zhì)量進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：他把一小鋼球托舉到距星球表面高度為 h 處由靜止釋放，計(jì)時(shí)儀器測(cè)得小鋼球從釋放到落回星球表面的時(shí)間為t．此前通過(guò)天文觀測(cè)測(cè)得此星球的半徑為 R，已知萬(wàn)有引力常量為G，不計(jì)小鋼球下落過(guò)程中的氣體阻力，可認(rèn)為此星球表面的物體受到的重力等于物體與星球之間的萬(wàn)有引力．求：
（1）此星球表面的重力加速度 g；
（2）此星球的質(zhì)量 M；
（3）若距此星球表面高 H 的圓形軌道有一顆衛(wèi)星繞它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期 T．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)h=

1

2

gt2得出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出星球的質(zhì)量．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合萬(wàn)有引力等于重力求出衛(wèi)星在圓形軌道上運(yùn)行的周期．

解答：解：（1）由h=

1

2

gt2得，g=

2h

t2

．
（2）根據(jù)G

Mm

R2

=mg
解得M=

gR2

G

=

2hR2

Gt2

．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得，G

Mm

(R+H)2

=m(R+H)(

2π

T

)2
又GM=gR²
解得T=

4π2(R+H)3 gR2

．
因?yàn)間=

2h

t2

．
所以T=

2π2(R+H)3t2 hR2

．
答：（1）此星球表面的重力加速度g=

2h

t2

．
（2）此星球的質(zhì)量為

2hR2

Gt2

．
（3）衛(wèi)星的運(yùn)行周期為

2π2(R+H)3t2 hR2

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．