Question

如圖所示，斜面AB與豎直半圓軌道在B點(diǎn)圓滑相連，斜面傾角為θ=45°，半圓軌道的半徑為R，一小球從斜面的頂點(diǎn)A由靜止開始下滑，進(jìn)入半圓軌道，最后落到斜面上，不計(jì)一切摩擦．試球：（結(jié)果可保留根號(hào)）．
（1）欲使小球能通過半圓軌道最高點(diǎn)C，落到斜面上，斜面AB的長(zhǎng)度L至少為多大？
（2）在上述最小L的條件下，小球從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，最后落到斜面上的落點(diǎn)與半圓軌道直徑BC的距離，x為多大？

Answer 1

分析：（1）由題意：小球恰好通過最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)軌道壓力N=0，此時(shí)L最小．根據(jù)向心力公式求出C點(diǎn)速度，從A到C機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出斜面AB的長(zhǎng)度L；
（2）小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）由題意：小球恰好通過最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)軌道壓力N=0，此時(shí)L最小．
mg=m

vc2

R

vc=

gr

從A到C機(jī)械能守恒，mgLsinθ=mg(2R)+

1

2

m

v

2 c

；
∴L=

5 2

2

R
（2）落到斜面上時(shí)：
水平方向有：X=v_ct               
豎直方向有：y=

1

2

gt2
tanθ=

2R-y

x

解得：x=(

5

-1)R
答：（1）欲使小球能通過半圓軌道最高點(diǎn)C，落到斜面上，斜面AB的長(zhǎng)度L至少為

5 2

2

R；
（2）在上述最小L的條件下，小球從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，最后落到斜面上的落點(diǎn)與半圓軌道直徑BC的距離，x為(

5

-1)R．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的問題，主要考查了圓周運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式，并結(jié)合機(jī)械能守恒解題，難度適中．