Question

【題目】如圖所示，一根繩穿過(guò)兩個(gè)定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現(xiàn)在兩個(gè)滑輪之間的繩上掛一個(gè)重量為的物體，恰好使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求正數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立坐標(biāo)系，設(shè)出坐標(biāo)，把平衡關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，然后根據(jù)三角的相關(guān)公式整理出正數(shù)關(guān)于角的函數(shù)，再進(jìn)行恒等變換求出參數(shù)的取值范圍.

如圖建立坐標(biāo)系，記OB、OA與軸的正半軸的夾角

分別為，則由三角函數(shù)定義得，

，

由于系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，∴

∴ ，

【方法一】

移項(xiàng)，（1）、（2）平方相加得：，

即 ，

而存在正數(shù)使得系統(tǒng)平衡，∴△＝，

∴.（因滑輪大小忽略，寫(xiě)成亦可，

不扣分．這時(shí)均為0）

由（*）解得，由（2）式知

∴，這是關(guān)于的增函數(shù)，

∴正數(shù)的取值范圍為 .

【方法二】

（1）、（2）平方相加得：，

由（1）知，，而

∴ 隨單調(diào)遞增，∴

（這里的銳角滿(mǎn)足，此時(shí)）

且（寫(xiě)成不扣分，這時(shí)均為0）

∴從而，

∴，即，

∴, ∴正數(shù)的取值范圍為.