Question

如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第Ⅰ象限內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在x＞0軸上有一平面熒光屏，在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)O為L(zhǎng)的S處有一粒子源，在某時(shí)刻同時(shí)發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)．觀察發(fā)現(xiàn)：熒光屏OP之間發(fā)光，P點(diǎn)右側(cè)任何位置均不發(fā)光，在P、Q之間的任一位置會(huì)先后二次發(fā)光；O、Q之間的任一位置只有一次發(fā)光，測(cè)出O、P間距為

3

L，不考慮粒子間的相互作用和粒子所受重力，求：
（1）粒子發(fā)射時(shí)的速度大小；
（2）Q點(diǎn)先后發(fā)光的時(shí)間間隔．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，使其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并由最長(zhǎng)的弦是圓的直徑，并結(jié)合幾何關(guān)系可得出粒子的速度大�。�
（2）根據(jù)題意可分劣圓弧與優(yōu)圓弧，從而由幾何關(guān)系來(lái)確定已知長(zhǎng)度與半徑的關(guān)系，并由周期公式可求出Q點(diǎn)先后發(fā)光的時(shí)間間隔．

解答：解：（1）由于洛倫茲力提供向心力，根據(jù)qvB=m

v2

r

，
解得：v=

mr

Bq

所以每個(gè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，半徑相同．而x軸的任一亮點(diǎn)與S的連線為圓的弦長(zhǎng)，由于P點(diǎn)是粒子到達(dá)x軸上最遠(yuǎn)點(diǎn)，
因此SP的連線為圓的最大弦長(zhǎng)，即圓的直徑．則

.

SP

=2r，
根據(jù)幾何關(guān)系：

.

SP

2=

.

OS

2+

.

OP

2 
解得r=L
∵L=

mv

Bq

∴v=

BLq

m

（2）aS連線與SP連線垂直，在∠aSO范圍內(nèi)發(fā)射粒子運(yùn)動(dòng)一段劣圓弧可以到達(dá)OP間任何一位置，
在∠aSy范圍內(nèi)發(fā)射粒子運(yùn)動(dòng)一段優(yōu)圓弧能到達(dá)OP間任何一位置，設(shè)粒子發(fā)射方向與y軸成θ角時(shí)，運(yùn)動(dòng)圓軌跡恰好與x軸的Q點(diǎn)相切．
根據(jù)幾何關(guān)系，L=r+rsinθ

.

OQ

=rcosθ
∵θ=0°

.

OQ

=L
∴t=

Mθ

Bq

∵粒子沿優(yōu)圓弧運(yùn)動(dòng)到達(dá)Q點(diǎn)的時(shí)間t2=

3πm

2qB

粒子沿劣圓弧運(yùn)動(dòng)到達(dá)Q點(diǎn)的時(shí)間t1=

πm

2qB

∴△t=t2-t1=

πm

qB

答：（1）粒子發(fā)射時(shí)的速度大小

BLq

m

；
（2）Q點(diǎn)先后發(fā)光的時(shí)間間隔

πm

qB

．

點(diǎn)評(píng)：考查牛頓第二定律，向心力公式，并突出幾何關(guān)系在本題的應(yīng)用，同時(shí)注重對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的分析，利用圓的特性來(lái)解題是本題的突破口．