Question

7．如圖所示，在光滑的水平面放置一個(gè)質(zhì)量為m₀=1.2kg的π型剛性金屬導(dǎo)軌ABCD，兩平行導(dǎo)軌AB和CD間距離為L(zhǎng)=0.4m，質(zhì)量為m=0.6kg的金屬桿MN與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，圖中虛線（與導(dǎo)軌垂直）的右側(cè)有范圍足夠大豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，碰感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，桿MN初始時(shí)位于虛線處，受到與導(dǎo)軌平行向右的拉力F作用，由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到t₁=1s是拉力F的大小為F₁=4.2N．BC邊最初與虛線相距X₀=2m，運(yùn)動(dòng)中電路接觸良好，BC邊的電阻R=0.1Ω，其余部分電阻均不計(jì)，MN始終與導(dǎo)軌垂直，不考慮自感．取g=10m/s²．求：
（1）運(yùn)動(dòng)t₁=1s時(shí)桿MN與邊BC間的距離是多少？
（2）BC邊剛好進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能的增加率$\frac{△{E}_{t}}{△t}$=？

Answer 1

分析 （1）先對(duì)MN，由牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系式，求出加速度，再對(duì)導(dǎo)軌，由牛頓第二定律求出加速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)位移時(shí)間公式分別求出MN與導(dǎo)軌的位移，由幾何知識(shí)求桿MN與邊BC間的距離．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理可知系統(tǒng)動(dòng)能的增加率$\frac{△{E}_{1}}{△t}$等于合外力做功的瞬時(shí)功率．先由位移公式求出BC進(jìn)入磁場(chǎng)的用時(shí)，由速度公式求出此時(shí)MN的速度，由上題結(jié)果求出拉力大小．再對(duì)導(dǎo)軌研究，得到BC剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，求得回路總的電動(dòng)勢(shì)，求得導(dǎo)軌受到的合外力．可得到MN與導(dǎo)軌合外力做功功率，即為所求解．

解答 解：（1）運(yùn)動(dòng)t₁=1s時(shí)桿MN受到的安培力 F_安=BIL=B$\frac{BLv}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
對(duì)桿，由牛頓第二定律得 F₁-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma₁ ①
而 v=a₁t ②
聯(lián)立得 F₁-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{a}_{1}t}{R}$=ma₁ ③
將t₁=1s，F(xiàn)₁=4.2N，B=0.5T，L=0.4m，m=0.6kg代入得 a₁=3m/s²；
對(duì)導(dǎo)軌，由牛頓第二定律得：a₂=$\frac{μmg}{{m}_{0}}$=1m/s²；
在t₁=1s桿MN和導(dǎo)軌的位移分別為
x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=1.5m
x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$=0.5m
故t₁=1s時(shí)桿MN與邊BC間的距離是 x=x₀+x₁-x₂=3m
（2）設(shè)BC經(jīng)時(shí)間t₂進(jìn)磁場(chǎng)．則 x₀=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，得 t₂=2s
此時(shí)桿的速度 v₁=a₁t₂=6m/s
導(dǎo)軌的速度 v₂=a₂t₂=2m/s
將v₁=6m/s代入③得 拉力 F₂=5.4N
BC進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，BC產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E₂與桿MN產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E₁反向，回路總電動(dòng)勢(shì) E=E₂-E₁=BL（v₂-v₁）=0.8V
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{R}$=8A
桿和導(dǎo)軌所受的安培力大小 F_安=BIL=1.6N，它們之間的摩擦力大小 f=μmg=1.2N
故此時(shí)MN的合力 F_合1=F₂-F_安-f=2.6N
BC的合力 F_合2=F_安+f=2.8N
由于兩個(gè)合力與速度同向，則由動(dòng)能定理得：P₁△t+P₂△t=△E
則得 $\frac{△E}{△t}$=P₁+P₂=F_合1v₁+F_合2v₂=21.2W
答：（1）運(yùn)動(dòng)t₁=1s時(shí)桿MN與邊BC間的距離是3m．（2）BC剛好進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能的增加率$\frac{△{E}_{1}}{△t}$為21.2W．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要正確棒與導(dǎo)軌的受力情況，結(jié)合運(yùn)動(dòng)情況，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合解答，要注意動(dòng)能的變化率實(shí)質(zhì)等于合力的功率．