Question

3．一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多），圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．A球的質(zhì)量為m₁，B球的質(zhì)量為m₂．它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v₀．設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m₁，m₂，R與v₀應(yīng)滿足關(guān)系式是（m₁-m₂）$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$+（m₁+5m₂）g=0．

Answer 1

分析 根據(jù)向心力的公式求出A球在最低點(diǎn)受到的向心力大�。瓵球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，即A、B兩球?qū)�軌道的壓力大小相等，方向相反．結(jié)合機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求出m₁、m₂、R與v₀應(yīng)滿足的關(guān)系式．

解答 解：A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為v₀，A球受到向下重力mg和細(xì)管向上彈力N₁的作用，其合力提供向心力．根據(jù)牛頓第二定律，得：
  N₁-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…①
這時(shí)B球位于最高點(diǎn)，設(shè)速度為v₁，B球受向下重力m₂g和細(xì)管彈力N₂作用．球作用于細(xì)管的力是N₁、N₂的反作用力，要求兩球作用于細(xì)管的合力為零，即要求N₂與N₁等值反向，N₁=N₂…②，
且N₂方向一定向下，
對(duì)B球：N₂+m₂g=m₂$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…③
B球由最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為V₀，此過(guò)程中機(jī)械能守恒定律，得：$\frac{1}{2}$m₂v₁²+m₂g•2R=$\frac{1}{2}$m₂v₀²…④
 由①②③④式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R與V₀滿足的關(guān)系式是：（m₁-m₂）$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$+（m₁+5m₂）g=0
故答案為：（m₁-m₂）$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$+（m₁+5m₂）g=0．

點(diǎn)評(píng) 本題是牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律的結(jié)合，關(guān)鍵要正確分析向心力的來(lái)源，明確在軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由合力提供向心力．